racines n-ième d'un nombre complexe

Définition : soit Z un nombre complexe donné et n un entier naturel non nul, on appelle racine n-ème complexe de Z tout nombre complexe z , s'il existe tel que zⁿ = Z

Cas particulier :
Z = 0 admet une racine n-ème unique z = 0

Racines n-ième d'un nombre complexe non nul

Supposons si Z ≠ 0 , soit z une racine n-ème de Z
alors Z et toute racine n-ième z de Z peuvent s'écrire sous forme exponentielle.
Soient et des arguments respectifs de Z et z,
R et r les modules respectifs de Z et z on a :

or R > 0 et r > 0 donc l'équation admet une solution unique :
et l'équation
on en déduis que les racines de Z sont les nombres :

où k {0 ; 1;.....;n-1}
si il n'y a en fait que n racines n-ième distinctes de Z, car à partir de k = n on "retombe" sur les mêmes racines par périodicité ...
Images des n racines n-ième d'un nombre complexe non nul
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct ,considérons les images on a :

donc les n points appartiennent au cercle de centre O et de rayon

donc sont les sommets d'un polynôme régulier à n côtés.

Remarque : les racines n-ièmes d'un nombre complexe Z peuvent aussi être obtenues en multipliant l'une des racines n-ième de Z par les racines n-ièmes de l'unité