Définition :
Une fonction f est dite contractante sur un intervalle I,
si il existe un réel 0 < k < 1
tel que pour tous réels x et y de l'intervalle I :
| f(x) - f(y) | k | x - y |

Propriétés :

Si une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et telle que pour tout réel x de I on a f ' (x) < 1 alors f est contractante
Preuve : c'est une application du théorème des accroissements finis

Si f est une fonction contractante sur un intervalle I, alors f admet un unique point fixe sur cet intervalle.
( l'équation f(x) = x admet une solution unique sur cet intervalle )

Théorème du point fixe .