convergence d'une série numérique

Définition :
Une série est dite convergente si la suite des sommes partielles est convergente. Si une série converge alors sa limite est notée :

dans le cas contraire on dit que la série est divergente.
Deux séries sont de même nature si elles sont toutes deux divergentes ou toutes deux convergentes.

Propriétés :
propriété 1
Si est une série numérique et n₀ alors les séries et sont de même nature et si ces deux séries convergent alors :

C'est à dire que l'indice de départ n'a pas d'importance pour prouver la convergence ou la divergence de la série.
propriété 2

Si est une série numérique convergente alors
démonstration
attention la réciproque est fausse ( exemple : la série harmonique )
c'est une condition nécessaire mais pas suffisante par contre si la condition n'est pas réalisé alors on dit que diverge grossièrement.
exemples de séries qui divergent grossièrement .
propriété 3 : K = ou

Remarque , si une des séries converge et l'autre diverge ( et également si les deux séries divergent ) on ne peut rien en conclure concernant la somme des séries.
propriété 4 : propriétés relatives au séries à termes positifs

Séries alternée
définition : une série est alternée si deux termes consécutifs quelconques de cette série sont de signe contraire.
théorème : si une série alternée est telle que la suite |u_n| est décroissante et de limite nulle alors elle converge.

Série absoluement convergente :
définition : une série est absoluement convergente si la série de terme général |u_n| est convergente.
propriété : toute suite absoluement convergente est convergente.