Etude d'une courbe polaire

Coordonnées polaires :
Le plan est orienté et muni d'un repère orthonormé direct .
Les coordonnées polaires d'un point M du plan sont le couple de nombres ( r ; ) où
r = OM et est une mesure de l'angle (, ) .
Si ( x ; y ) sont les coordonnées cartésiennes de M alors on a

Pour , on note :

Courbe polaire :
Soit f une application continue d'un ouvert D de dans .
On dit que la courbe paramétrée plane D
( f () cos , f () sin ) = f( ) est la courbe d'équation polaire r = f( ).
Equations de droites et cercle en coordonnées polaires
Equation d'une droite
Equation d'un cercle
Notations et remarques :
Le point M correspondant à est noté M ( ) .
La tangente au point M ( ) est notée : T_M
Si f () 0 , le point M ( ) a pour coordonnées polaires ( f () ; )
Si f () < 0 , le point M ( ) a pour coordonnées polaires (- f () ; + )

Ensemble de définition et d'étude
On réduit le domaine d'étude d'une courbe polaire par l'utilisation de périodicité, parité ou autres symétries. En supposant que f est définie sur :

• Si f est T - périodique, il suffira d'étudier la fonction f sur un intervalle d'amplitude T exemple : [-T/2 ; T/2 [ , [0 ; T[ etc... le reste de la courbe sera obtenue par rotations successives d'angle T.
• Si f est T - antipériodique, il suffira d'étudier la fonction f sur un intervalle d'amplitude T exemple : [-T/2 ; T/2 [ , [0 ; T[ etc... le reste de la courbe sera obtenue par rotations successives d'angle T + .
• Si f est paire , il suffira d'étudier la fonction f sur l'intervalle [0 ; + [ ou
  ] - ; 0] , le reste de la courbe sera obtenue par symétrie axiale d'axe l'axe des abscisses.
• Si f est impaire , il suffira d'étudier la fonction f sur l'intervalle [0 ; + [ ou
  ] - ; 0] , le reste de la courbe sera obtenue par symétrie axiale d'axe l'axe des ordonnées.
• Si il existe un réel a tel que pour tout réel de ,
  f (a - ) = f ( ) , il suffira d'étudier la fonction f sur l'intervalle [a/2 ; + [ ou
  ] - ; a/2] , le reste de la courbe sera obtenue par symétrie axiale d'axe la droite d'équation polaire = a/2. ( si a = 0, on retrouve le cas f paire )
• Si il existe un réel a tel que pour tout réel de ,
  f (a - ) = - f ( ) , il suffira d'étudier la fonction f sur l'intervalle [a/2 ; + [ ou
  ] - ; a/2] , le reste de la courbe sera obtenue par symétrie axiale d'axe la droite d'équation polaire = (a + )/2. ( si a = 0, on retrouve le cas f impaire )

Points particuliers de la courbe polaire :
Point régulier :
Un point M ( ) est régulier si et seulement si ( f () ; f ' ( ) ) ( 0 ; 0 )
La tangente en un point régulier a pour vecteur directeur le vecteur :
f ' ( ) + f ()
Point stationnaire :
Un point M ( ) est stationnaire si et seulement si ( f () ; f ' ( ) ) = ( 0 ; 0 )
Le seul point stationnaire possible d'une courbe polaire est le point O (0 ; 0)
Point birégulier :
Un point M ( ) est birégulier si et seulement si :
f ² () + 2 f ' ² () - 2 f ()f '' () 0.
Un point est birégulier est régulier.
Point double :
Point qui est "atteint" au moins deux fois.
M ( ) est un point double dans les cas suivant :
premier cas : f ( + k 2 ) = f () pour tout entier relatif k
second cas : f ( + (2k + 1) ) = - f () pour tout entier relatif k
Branches infinies

Etude et construction de la courbe polaire :
( pour construire en ligne la courbe )
Exemples d'étude de courbe polaire :
Exemple n° 1 : r = tan 2