Etude et construction d'une courbe paramétrée

Exemple : on considère la courbe paramétrée définie par :

ou le réel t décrit ,
pour étudier ce type de courbe
1)
on calcule les dérivées des fonctions x et y qui sont dans ce cas dérivable sur :

2) on étudie le signe de ces deux dérivées on dresse un tableau avec les signes des deux dérivées suivant les valeurs de t.
la première x'(t) est du signe de -4t
la deuxième y'(t) est du signe de (1 - t)( 1 + t)

3) on compléte ce tableau avec les images des nombres -1 , 1 par x'(t) et 0 par y'(t) :


4) on complète ensuite le tableau avec les variations des fonctions x et y , les limites aux bornes de l'ensemble de définition des fonctions x et y et les images des nombres -1, 0 et 1 par x et y.


5) construction de la courbe paramétrée :
- on place les points de coordonnées
(0 ; 0) , (1 ; -1) ; (2 ; 0) ; ( 1; 1) et (0 ; 0)
- on construit les vecteurs tangents c'est à dire les vecteurs de coordonnées : ( 1 ; 0) ; ( 0 ; 2) ; (-1 ; 0) aux points de coordonnées :
(1 ; -1) ; (2 ; 0) ; ( 1; 1)
on a plus qu'à tenir compte simultanément des variations pour construire cette courbe : c'est arc fermé et dans ce cas c'est un cercle ce qui était prévisible.
Puisque :

on obtient l'équation d'un cercle de centre (1 ; 0) et de rayon 1