Etude et construction d'un courbe paramétrée plane, avec sinus

On considère la courbe paramétrée définie par :

Quelques remarques qui vont permettre de limiter l'étude :

• Les fonctions x et y sont périodiques et les périodes sont respectivement :
  
  La fonction vectorielle associée à cette courbe paramétrée est donc de période 12
  (12 est le plus petit commun multiple de 6 et 4)
  c'est à dire que tout les 12, on "retombe" sur les même points de la courbe paramétrée.
  Il est donc suffisant d'étudier sur [0 ; 12] ou sur tout autre intervalle d'amplitude 12 :
  comme [ -6 ; 6] .
• On peut remarquer que :
  
  autrement dit si M(x ; y ) appartient à la courbe paramétrée, il en est de même pour le point
  M'(x ; - y) , la courbe admet l'axe des abscisses comme axe de symétrie.
  L'étude peut donc encore se restreindre à l'intervalle [ -3 ; 3] ou tout intervalle d'amplitude 6 .
  
• Les fonctions x et y sont impaires :
  
  ce qui veut dire que si un point M(x ; y) appartient à la courbe, il en est de même du point M'(- x ; -y) , donc la courbe admet O comme centre de symétrie.
  l'étude est par conséquent réduite à [0 ; 3]
  

Construction de la courbe :