Etude et construction d'un courbe paramétrée plane, avec sinus

On considère la courbe paramétrée définie par :

Quelques remarques qui vont permettre de limiter l'étude :

  • Les fonctions x et y sont périodiques et les périodes sont respectivement :

    La fonction vectorielle associée à cette courbe paramétrée est donc de période 12
    (12 est le plus petit commun multiple de 6 et 4)
    c'est à dire que tout les 12, on "retombe" sur les même points de la courbe paramétrée.
    Il est donc suffisant d'étudier sur [0 ; 12] ou sur tout autre intervalle d'amplitude 12 :
    comme [ -6 ; 6] .
  • On peut remarquer que :

    autrement dit si M(x ; y ) appartient à la courbe paramétrée, il en est de même pour le point
    M'(x ; - y) , la courbe admet l'axe des abscisses comme axe de symétrie.
    L'étude peut donc encore se restreindre à l'intervalle [ -3 ; 3] ou tout intervalle d'amplitude 6 .
  • Les fonctions x et y sont impaires :

    ce qui veut dire que si un point M(x ; y) appartient à la courbe, il en est de même du point M'(- x ; -y) , donc la courbe admet O comme centre de symétrie.
    l'étude est par conséquent réduite à [0 ; 3]

Etude sur [0 ; 3]
Calculons les dérivées des fonctions x et y on a :

x'(t) s'annule en changeant de signe en 3/2
y'(t) s'annule en changeant de signe en et 3.

Tableau de variations :

Construction de la courbe :