La fonction f = u/v est dérivable sur tout intervalle où
les fonctions u et v sont dérivable et où la fonction v
est non nulle et :
Démonstration :
La fonction f peut être considérée comme le produit
de deux fonctions : la fonction u et la fonction 1/v . Un produit de deux
fonction est dérivable si chacune d'elle est dérivable,
il faut donc que la fonction u soit dérivable et que la fonction
1/v soit également dérivable ce qui est le cas quand v est
dérivable et non nulle ( voir
dérivée de l'inverse d'une fonction ) .
Exemple :
Considérons la fonction f par :
cette fonction est un quotient de deux fonctions u et v ,
La fonction u est définie sur
par u(x) = 4x² +1 , cette fonction est dérivable sur
et pour tout réel x on a : u'(x) = 8x.
La fonction v est la fonction définie sur
- {5} , cette fonction est dérivable sur chaque intervalle ]-∞;
5[ et sur ]5 ; + ∞[
et pour tout réel x appartenant à l'un des deux intervalles
on a : v'(x) = 1
La fonction f quotient de ces deux fonctions est donc dérivable
sur les intervalles ]-∞;
5[ et ]5 ; + ∞[ et pour
tout réel x appartenant à l'un de ces deux intervalles on
a :