dérivée d'un quotient de deux fonctions

La fonction f = u/v est dérivable sur tout intervalle où les fonctions u et v sont dérivable et où la fonction v est non nulle et :

Démonstration :
La fonction f peut être considérée comme le produit de deux fonctions : la fonction u et la fonction 1/v . Un produit de deux fonction est dérivable si chacune d'elle est dérivable, il faut donc que la fonction u soit dérivable et que la fonction 1/v soit également dérivable ce qui est le cas quand v est dérivable et non nulle ( voir dérivée de l'inverse d'une fonction ) .

Exemple :
Considérons la fonction f par :

cette fonction est un quotient de deux fonctions u et v ,
La fonction u est définie sur par u(x) = 4x² +1 , cette fonction est dérivable sur et pour tout réel x on a : u'(x) = 8x.
La fonction v est la fonction définie sur - {5} , cette fonction est dérivable sur chaque intervalle ]-∞; 5[ et sur ]5 ; + ∞[ et pour tout réel x appartenant à l'un des deux intervalles on a : v'(x) = 1
La fonction f quotient de ces deux fonctions est donc dérivable sur les intervalles ]-∞; 5[ et ]5 ; + ∞[ et pour tout réel x appartenant à l'un de ces deux intervalles on a :