développement limité d'ordre n

Soit a un nombre réel et f une fonction définie dans un voisinage de a . On appelle développemement limité de f à l'ordre n au voisinage de a un polynôme P_n de degrés inférieur ou égal à n tel que :


Avec les notations de Landau :

Propriétés :

• f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de a si et seulement si la fonction g définie par g(h) = f(a + h) admet un développement limité au voisinage de 0.
• Si f admet un développement limité en 0 alors ce développement est unique.
• Le polynôme P_n(x) est appelé partie régulière du developpement limité
• L'expression (x - a)ⁿ(x) est appelée terme complémentaire du developpement limité.
• Si f est une fonction paire admettant un développement limité au voisinage de 0 alors ce développement limité ne contient que les puissances paires de la variable.
• Si f est une fonction impaire admettant un développement limité au voisinage de 0 alors ce développement limité ne contient que les puissances impaires de la variable

Recherche d'un développement limité à l'ordre n : Formule de Taylor Young

Soit a un réel , f une fonction numérique possédant une dérivée n-ième f⁽ⁿ⁾(a) ce qui entraîne que f admet n-1 dérivées continues au voisinage de a, alors pour tout réel h tel que a + h appartient à l'ensemble de définition de la fonction f on a :



Quelques développements limités au voisinage de 0 ( programme BTS )

• Exemple de calculs de développements limités de fonction au voisinage de 0
• Opération sur les développements limités.