Propriété : toute partie non vide et majorée de possède un plus grand élément. Division euclidienne dans Soient a et b deux entiers naturels avec b 0, considérons l'ensemble B des multiples de b inférieurs ou égaux à a : B = {x∈ ; x = kb avec k∈ et x ≤ a } L'ensemble B est non vide puisque 0 ∈ B, B est donc un sous ensemble de non vide et majoré par a . Par suite B admet un plus grand élément et il existe donc un entier naturel q unique tel que : bq ≤ a < b(q +1) en posant r = a - bq on peut dire qu'il existe un couple unique (q, r) d'entiers naturels tel que : On dit que q est le quotient entier et r le reste de la division euclidienne de a par b. Si r = 0 : a est par définition divisible par b, on dit dans ce cas que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a. exemple : pour a = , b =