diviseurs, multiples dans Z

Définition :
Soient a et b deux entiers relatifs, on dit que b divise a si il existe un entier relatif k tel que a = kb.

On note b|a
Remarques :
- il est équivalent de dire que a est un multiple b ou b est un diviseur de a
- la notion de diviseur dans est analogue à celle dans il suffit de compléter les diviseurs avec leurs opposés respectifs.
- La relation | est une relation d'ordre partiel sur en effet elle est réflexive, antisymétrique au signe près et transitive mais il existe des couples (a, b) non comparables par cette relation
( 3 ne divise pas 4 et 4 ne divise pas 3)
- est l'ensemble des multiples de 0, mais 0 n'admet qu'un seul multiple lui-même.

Propriétés : soient a, b, c trois entiers relatifs et n un entier naturel non nul

• a | b et b|c a|c (transitivité )
• c|a et c|b c divise toute combinaison linéaire à coefficient entier
  ua + vb de a et b ( u et v sont des entiers relatifs quelconques )
• a|b |a| |b|
• (a - b) | (aⁿ - bⁿ)
• si n est impair alors (a + b) | (aⁿ + bⁿ)
• l'ensemble des diviseurs communs de deux entiers naturels non nul est l'ensemble des diviseurs de leur PGCD

Liens :

• Ensemble n des multiples d'un entier naturel n