Ensemble totalement ordonné

Soit E ensemble totalement ordonné par une relation d'ordre notée ≤ et F un sous ensemble non vide de E . On définit sur cet ensemble E - l'intervalle fermé : [a ; b] = {x ∈ E | a ≤ x et x ≤ b } - l'intervalle ouvert : ]a ; b[ = {x ∈ E | a < x et x < b } - l'intervalle semi ouvert à gauche : ]a ; b] = {x ∈ E | a < x et x ≤ b } -l'intervalle semi ouvert à droite : [a ; b[ = {x ∈ E | a ≤ x et x < b } ( Ces définitions d'intervalle fonctionnent quelque soit les relations d'ordres, elle généralise la notion d'intervalle sur ) un majorant de F est un élément M de E tel que : pour tout x ∈ F ; x ≤ M . Si l'ensemble F admet un majorant, on dit qu'il est majoré. un minorant de F est un élément m de E tel que : pour tout x ∈ F ; x ≥ m . Si l'ensemble F admet un minorant, on dit qu'il est minoré. Cas particulier : - le plus grand élément de F est le nom donné au seul majorant de F appartenant à F. - le plus petit élément de F est le nom donné au seul minorant de F appartenant à F. - le plus petit des majorants (si il existe ) est appelé borne supérieure de F. - le plus grand des minorants (si il existe ) est appelé borne inférieure de F.