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On veut résoudre l'équation P(x) = 0 ou P(x) est le polynôme
P(x) = x3 + px + q avec p et q réels.
Propriétés des racines de ce polynôme
Les racines a, b, c de ce polynôme ont plusieurs propriétés
:
Comment résoudre ce type d'équation
- si p = 0 alors la solution l'équation est la racine cubique
de -q
- si q = 0 alors il n'y a aucun problème à résoudre
cette équation puiqu'il y a moyen de factoriser.
- si il existe une racine évidente pour p(x) , vous avez une
méthode plus rapide.
- Méthode de Bombelli
si p ≠ 0 et q ≠
0 alors en posant x = u + v on obtient :
tout dépend du nombre réel 27q2 + 4p3
- si 27q2 + 4p3 >
0 l'équation en X admet deux solutions X1
et X2 réelles distinctes donc : (exemples)
on en déduit de cette façon une des solutions
réelle de l'équation x3 + px + q = 0 :
ayant une solution x1 de l'équation x3
+ px + q = 0, on en déduit les autres solutions de l'équation,
c'est à dire les autres racines du polynômes x3
+ px + q , puisque d'après ce qui précède les racines
x1, x2 et x3 doivent vérifier
:
donc x2 et x3 sont solutions de l'équation
:
vous en déduisez de cette façon toutes les solutions de
l'équation p(x) = 0 : x1, x2 et x3
(ouf!!)
- si 27q2 + 4p3 = 0
l'équation en X admet une solution réelle double X0
donc :
comme dans le cas 27q2 + 4p3 >
0 donc x2 et x3 sont solutions de l'équation
:
l'équation admet une racine double :
donc les 2 solutions dans ce cas sont x1et x2
- si 27q2 + 4p3 <
0 l'équation en X admet deux solutions complexes conjuguées
X1 et X2 (que l'on explicitera pas),
si u1 , u2, u3 sont les racines cubiques
complexes de X1, il suffit de connaître u1
pour en déduire les autres :
v1 , v2 et v3 correspondants sont tels
que :
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