| Introduction :
Soit la fonction f définie sur 
par f(x) = cos 2x .Cette fonction est dérivable
et sa dérivée la fonction f ' est telle que f '(x) = -
2 sin 2x pour réel x
La fonction f ' est elle même dérivable
et sa fonction sa dérivée f'' est telle que f ''(x) = -
4 cos 2x pour tout réel x.
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on a donc pour tout réel x :
- f(x) = cos 2x
- f '(x) = - 2 sin 2x
- f''(x) = - 4 cos 2x
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| On peut remarquer que :
4 f(x) + f ''(x) = 0 pour tout réel x.
On dit que l'équation 4 f(x)
+ f ''(x) = 0 est une équation différentielle , et la fonction
f définie sur
par f(x) = cos 2x en est la solution ( on dit aussi fonction intégrale
) .
Généralement, on écrit plutôt 4y(x)
+ y''(x) = 0
et de façon plus simple 4y + y'' = 0
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Remarque :
- Résoudre ( on dit aussi intégrer ) une équation différentielle
sur un intervalle I c'est trouver toutes les solutions, sur I de cette
équation, c'est à dire toutes les fonctions f qui vérifient l'égalité.
L'inconnue de ce type d'équation n'est plus un nombre réel, mais une
fonction.
- La courbe représentative d'une fonction f solution
est appelée courbe intégrale.
- Si une équation différentielle ne fait intervenir que x, y ,y' ( avec
y fonction de x et y' sa dérivée ) on dit que l'équation différentielle
est du premier ordre.
- Si une équation différentielle ne fait intervenir que x, y ,y',y''
( avec y fonction de x et y' sa dérivée , y'' sa dérivée seconde ) on
dit que l'équation différentielle est du second ordre.
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| Type d'équations différentielles |
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