équation différentielle à variables séparables du premier ordre

Quand vous pouvez isoler y et y' dans un des membres et le "reste" dans dans l'autre membre de l'équation différentielle vous avez une équation différentielle à variables séparables.
En prenant la notation y' = dy/dx vous obtenez alors une équation qui peut se mettre sous la forme :
f(x) dx = g(y) dy où f et g sont deux fonctions.

Exemple
On veut résoudre l'équation différentielle
(E) : y' - x² = x² y
dy/dx = x² + x²y
dy/dx = x²(1 + y)
si y = -1 alors y' = 0 = x² . 0 = 0 donc la fonction constante égale à -1 est solution.
si y ≠ -1 alors dy/(1+y) = x²dx
dy/(1+y) = x²dx
ln |y + 1| = x3/3 + k avec k
|y + 1| = exp(x3/3 + k)
y + 1 = +/- exp(x3/3 + k)
y = -1 + Kexp(x3/3)
on retrouve le cas y = -1 pour K = 0
donc les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions F définie par F(x) = -1 + Kexp(x3/3) où K
Pour K = 0 on retrouve la solution y = -1
donc les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions F définie sur par :
F(x) = -1 + Kexp(x3/3)