Définition :
Une équation du premier ordre exacte est une équation qui
peut se mettre sous la forme :
X(x ; y)
dx + Y(x ; y)
dy
= 0 et donc les fonctions X et Y vérifient l'équation aux
dérivées partielles : X/y
= Y/x
Résolution :
La solution est donnée sous forme d'une équation liant x
et y
seulement de la forme F(x
; y
) = K , ou
F(x
; y)
= X(x
; y)
dx
+ a(y)
= Y(x
; y)
dy + b(x)
les fonctions a(y)
et b(x)
doivent être recherchées pour que la dernière égalité
soient vérifiée.
Exemple :
xy
+ y3
+y'x2/2+
3xy2
y'
= 0
(xy
+ y3)
dx
+ (x2/2+
3xy2)
dy
= 0
X(x
; y
) = xy
+ y3,
Y(x;y)
= x2/2+
3xy2
X/y
= x + 3y2
Y/x
= x
+ 3y2
donc X/y
= Y/x
X(x
; y)
dx
= xy
+ y3
dx
= x²y/2
+ xy3
Y(x
; y)
dy
= x2/2+
3xy2
dy
= x²y/2
+ xy3
aucune fonction a et b n'a été utilisée dans ce cas.
on a donc :
x²y/2
+ xy3
= K
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