équations de droite dans le plan

Comment caractériser une droite ?
  • Une droite (D) du plan peut-être caractérisée par deux points distincts A et B et dans ce cas on peut dire que c'est l'ensemble des points M du plan tels que les vecteurs et sont colinéaires :



  • Une droite (D) du plan peut-être caractérisée par un point A de la droite et un vecteur directeur de D et dans ce cas c'est l'ensemble des points M du plan tels que et sont colinéaires :
  • Une droite (D) du plan peut-être caractérisée par un point A de la droite et un vecteur normal à D dans ce cas c'est l'ensemble des points M du plan tels que et sont orthogonaux :

         

Il existe bien sur d'autres caractérisations de droites...

Comment déterminer l'équation d'une droite en utilisant les caractérisations précédentes ? 
Soit le plan muni d'un repère . Déterminer l'équation d'une droite (D) c'est en quelque sorte déterminer l'égalité que doivent vérifier les coordonnées (x ; y ) d'un point M quelconque de cette droite. Vous pouvez après simplification trouver certains types d'équation :
  • ax + by + c = 0 (ou a, b, c trois réels fixés tels que ab 0 ) est une équation cartésienne de la droite  (D) .
  • y = mx + p ( ou m et p deux réels fixés ) est appelée équation réduite de la droite (D), vous trouvez ce type d'équation si la droite (D) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. 
  • x = p ( avec p réel fixé ) est l'équation réduite d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

Exemples :

On veut déterminer une équation de la droite (AB)
sachant que A(2;1) et B(3; -1) : 

(*) on peut utiliser sinon le déterminant nul des vecteurs et .

On veut déterminer une équation de la droite passant par A(3;1) et de vecteur directeur (-1; 2) :
On veut déterminer une équation de la droite passant par A(3;1) et de vecteur normal (-1; 2) :

(*) cela correspond au produit scalaire nul des vecteurs et