équations cartésiennes d'un plan dans l'espace

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O; ;; ) .
Cas particulier : équations de plan orthogonaux aux axes du repère.
Soit un plan P dont on connait un vecteur normal (a,b,c) et A(xA,yA,zA) un point de P.
Pour qu'un point M de coordonnée (x ; y ; z) appartienne au plan P il faut et il suffit que les vecteurs et soient orthogonaux
( voir définition du plan ) donc :

la dernière équation obtenue : ax + by + cz + d = 0 ou
(a ; b; c) ≠ (0 ; 0 ; 0 ) vérifiée par les coordonnées d'un point
M(x; y; z ) quelconque du plan P est appelée une équation cartésienne du plan P.

Exemple : on veut déterminer l'équation du plan P passant par le point A(1 ; 2 ; 3) et dont un vecteur normal est le vecteur de coordonnées (-1 ; 3 ; 5) :

En fait à partir d'une équation cartésienne d'un plan vous pouvez en determiner autant que vous le voulez, il suffit de multiplier les deux membres de l'équation obtenue par un même nombre non nul , ainsi -2x + 6y + 10z - 40 = 0 est encore une équation cartésienne de ce plan.

Inversement : une équation de la forme ax + by + cz + d = 0 où
(a ; b; c) ≠ (0 ; 0 ; 0 ) est l'équation cartésienne d'un plan de vecteur normal (a,b,c) .