Définition d'espace
vectoriel sur 
un ensemble 
est un espace vectoriel sur
:
- lorsque
est muni d'une loi de composition interne (généralement notée
+) , appelée addition vectorielle, telle que (,
+ ) est un groupe commutatif
, les éléments de
sont plus communément appelé
vecteurs .
- l'ensemble
est muni d'une loi de composition
externe, noté par un point " .
" tel que :
(1) Pour tout 
∈
on a :
1 . =
(2) Pour tout
∈
et
pour tous réels 
et 
:
.()=
()
(
+
)=
+
(3) Pour tous 
et
appartenant à
et pour tout réel
(+
)
=+
Propriétés
- Pour tous
,
,
de : +
= +
⇔=
- Pour tous ,
de
, il existe
un unique vecteur
tel que
=
+
- Pour tout
∈
et pour
tout réel
on a :
.=
⇔(
= 0 ou =
)
Un exemple
d'espace vectoriel pour comprendre
Définition : Sous espace vectoriel :
On nomme sous espace vectoriel d'un espace vectoriel ,
toute partie '
non vide de
stable pour l'addition vectorielle et la multiplication externe
définies sur
:
Pour tous vecteurs
et
de ' et tous
réels
et
(.+.)
appartient à '
'
est un espace vectorielle muni des lois + et .
Remarque : L'intersection
de deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel
est encore un sous espace vectoriel de ,
mais ce n'est pas forcément le cas de l'union
de deux sous espace vectoriel.
Un exemple de sous
espace vectoriel
Définition : Somme de deux sous-espaces vectoriels
Soient U et V deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel
sur ,
on appelle somme des sous espaces vectoriels U et V l'ensemble noté
U + V des vecteurs
= +
où
est un élément de U et
est un élément de V
U+V est un sous espace vectoriel de
Définition :
Somme directe de deux sous-espaces vectoriels
Soient U et V deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel
sur ,
on dit que W = U+V est la somme directe des sous espaces vectoriels
U et V si W est la somme des deux sous espaces vectoriel U et V
et que le seul élément commun à U et V est le vecteur nul ( élément
neutre ) on note alors : W = U V
Un exemple de somme de sous espaces
vectoriels
Propriété caractéristique
Pour que la somme U+V de 2 sous espaces vectoriels U et V soit directe,
il faut et il suffit que tout vecteur de (U+V) soit de façon unique,
somme d'un vecteur de U et d'un vecteur de V.
Si
= UV
on dit que les sous espaces vectoriels U et V sont supplémentaires.
Combinaison
linéaires de vecteurs
Soit
un espace vectoriel sur ,
et soit { 1,2,.....,
n}
un sous ensemble fini de vecteurs de .
On appelle combinaison linéaire des vecteurs 1,2,.....,
n
tout vecteur tel
que :
Remarque
est toujours un élément de E.
Espace vectoriel engendréet famille
génératrice
L'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de toute
partiefinie {1,2,.....,
n}
d'un espace vectoriel
est un sous espace vectoriel de ,
appelé sous espace vectoriel engendré par 1,2,.....,
n
Une partie G ou famille de vecteur d'un espace
vectoriel
est dite génératrice de
si tout vecteur de
est une combinaison linéaire de G.
Partie libre, partie liée d'un espace
vectoriel
Une partie d'un espace vectoriel
sur ,
est dite libre si pour tout nombre fini d'éléments 1,2,.....,
n
de cette partie on a :
a1 1
+ a2 2
+ a3 3+...+
ann
= ⇒
a1 = a2 = a3 = .....= an=
0
La partie liée dans le cas contraire :
Propriété : si une partie L est une partie liée d'un
espace vectoriel, alors l'un au moins des vecteurs de L est une
combinaison linéaire d'autres vecteurs de L.
Base d'un espace vectoriel
On nomme base d'un espace vectoriel toute partie génératrice
et libre de cet espace vectoriel.
Remarque cette définition de base généralise la définition d'une
base de vecteurs dans le
plan ou dans l'espace.
Propriété caractéristique d'une base
Pour qu'une partie B d'un espace vectoriel
soit une base de ,
il faut et il suffit que tout vecteur de
s'exprime de façon unique, par une combinaison linéaire d'un nombre
fini de vecteurs de .
coordonnées d'un vecteur dans une base donnée
Soit B = (1,2,.....,
n)
une base finie d'un espace vectoriel
sur
tout vecteur
de s'exprime
de façon unique en fonction des vecteurs 1,2,.....,
n
, autrement dit il existe des réels x1, x2,
....,xn tels que :
= x11+x22+.....+
xnn
.
le n-uplet (x1; x2 ; ....;xn) est
appelé coordonnée du vecteur
dans la base (1,2,.....,
n).
Cette définition généralise la définition de coordonnée
d'un vecteur dans le plan.
Dimension d'un espace vectoriel fini
Si un espace vectoriel
admet une base de n éléments, toute les autres bases de
ont également n éléments, ce nombre d'élément est appelé dimension
de l'espace vectoriel
que l'on note dim .
Propriétés :
Si =
1
2
alors dim1
+ dim 2
= dim
( cela vient du fait que si deux sous espace 1
et 2
sont supplémentaires, ils admettent pour bases respectives des parties
complémentaires de
).
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