Un exemple d'espace vectoriel

Considérons l'ensemble e des fonctions numériques à variable réelle f définies par :
f(x) = ax + b où a et b sont deux réels fixés.
Munissons e d'une loi interne l'addition notée + telle que pour toutes fonctions f et g de e: (f + g)(x) =f(x) + g(x)
et munissons e d'une loi externe notée .telle que pour tout réel l et pour toute fonction f on a : (l .f )(x) = l f(x).
Nous allons montrer que e un espace vectoriel sur .
  1. tout d'abord il faut prouver que (e, +) est un groupe commutatif.
    la loi + est bien interne : soient f et g deux éléments de e, f(x) = ax + b et g(x) = cx + d
    où a,b,c,d sont quatre réels fixés
    (f + g)(x) = f(x) + g(x) = ax + b + cx + d
    = (a + c)x + b + d, donc f + g appartient à e
    la loi + est associative : Soient f, g , h trois éléments de e, f(x) = ax + b , g(x) = cx + d ,
    h(x)= ex + f où a,b,c,d,e,f sont des réels fixés
    ((f + g)+ h )(x) = .... = (a + c + e)x + (b + d +f)
    (f + (g + h))(x) = .... = (a + c + e)x + (b + d +f)
    la loi admet un élément neutre : la fonction nulle n définie par n(x) = 0x + 0 = 0, pour tout élément f de e, f + n = n + f = f.
    Tout élément de e admet un symétrique pour la loi + : soit f un élément de e, f définie par
    f(x) = ax + b, notons (-f) l'élément définie par (-f)(x) = -ax +(- b) on a :
    f + (-f) = (-f) + f = n.
    Il n'ya aucune difficulté à comprendre que
    f + g = g + f pour tout élément f et g de e donc :
    (e, +) est un groupe commutatif
  2. Montrons que e est un espace vectoriel
    Pour tout f ∈ e on a :(1 . f)(x ) = 1f(x) = f(x)
    donc (1. f)= f.
    Pour tout f ∈ e et
    pour tous réels et :
    (.(f))(x) = (f)(x) = f(x) = ()f(x)
    (( + )f)= (+)f(x) = f(x) + f(x) =
    (f + f)(x).
    Pour tous f et g appartenant à e et pour tout réel
    ((f + g))(x) =(f+g)(x) = f(x) +g(x) = (f + g)(x)

Donc e est un espace vectoriel.