Nous allons montrer que e
un espace vectoriel sur .
- tout d'abord il faut prouver que (e, +) est
un groupe commutatif.
la loi + est bien interne : soient
f et g deux éléments de e, f(x) = ax + b et g(x) = cx + d
où a,b,c,d sont quatre réels fixés
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = ax + b + cx + d
= (a + c)x + b + d, donc f + g appartient à e
la loi + est associative : Soient
f, g , h trois éléments de e, f(x) = ax + b , g(x) = cx + d ,
h(x)= ex + f où a,b,c,d,e,f sont des réels fixés
((f + g)+ h )(x) = .... = (a + c + e)x + (b + d +f)
(f + (g + h))(x) = .... = (a + c + e)x + (b + d +f)
la loi admet un élément neutre :
la fonction nulle n définie par n(x) = 0x + 0 = 0, pour tout
élément f de e, f + n = n + f = f.
Tout élément de e
admet un symétrique pour
la loi + : soit f un élément de e, f définie par
f(x) = ax + b, notons (-f) l'élément définie par (-f)(x) = -ax +(-
b) on a :
f + (-f) = (-f) + f = n.
Il n'ya aucune difficulté à comprendre que
f + g = g + f pour tout élément f et g de e
donc :
(e, +) est un groupe commutatif
- Montrons que e
est un espace
vectoriel
Pour tout f
∈ e
on
a :(1 . f)(x ) = 1f(x)
= f(x)
donc (1. f)= f.
Pour tout f
∈ e
et
pour tous réels
et
:
(.(f))(x)
= (f)(x)
= f(x)
= ()f(x)
(( +
)f)= (+)f(x)
= f(x)
+ f(x)
=
(f + f)(x).
Pour tous f
et g appartenant
à e et pour tout réel
((f + g))(x) =(f+g)(x)
= f(x)
+g(x) =
(f + g)(x)
Donc e est un espace vectoriel. |