Extremums d'une fonction

Définitions :

Soit f une fonction numérique et Df son ensemble de définition ( Df ) et x0 un point de Df :

  • On dit que f admet un maximum relatif égal à f(x0) au point x0 si il existe un intervalle ouvert I non vide contenant x0 tel que :
    pour tout réel x de I Df , f(x) f(x0)

  • On dit que f admet un minimum relatif égal à f(x0) au point x0 si il existe un intervalle ouvert I non vide contenant x0 tel que :
    pour tout réel x de I Df , f(x) f(x0)

  • On dit que f admet un maximum absolu égal à f(x0) au point x0 si
    pour tout réel x de Df , f(x) f(x0)

  • On dit que f admet un minimum absolu égal à f(x0) au point x0 si
    pour tout réel x de Df , f(x) f(x0)

Remarques : Un maximum absolu est en fait un majorant particulier de la fonction, c'est un malorant qui est l'image d'un nombre de l'ensemble de définition de la fonction f, et un minimum est de la même façon un minorant particulier de la fonction, c' est un minorant qui est l'image d'un nombre de l'ensemble de définition de la fonction f

Quelques exemples :

La fonction f définie sur par f(x) = x² + 4 admet un minimum relatif et absolu qui est 4 , puisque pour tout réel x on a : x² + 4 4, et que de plus f(0) = 4.

La fonction f définie sur -{0} par f(x) = 1 / x² , cette fonction admet bien un minorant 0, mais il n'existe pas de nombres dont l'image par f soit égal à 0, donc on ne peut pas dire que 0 est le minimum absolu pour la fonction f

Remarque :

On peut rechercher les extremums relatifs parmi les nombre qui annulent la dérivée de la fonction ( à condition que la fonction soit dérivable )