Définitions :
Soit f une fonction
numérique et Df
son ensemble de définition ( Df

) et x0
un point de Df
:
- On dit que f
admet un maximum relatif égal à f(x0)
au point x0
si il existe un intervalle ouvert I
non vide contenant x0
tel que :
pour tout réel x
de I
Df , f(x)
f(x0)
- On dit que f
admet un minimum relatif égal à f(x0)
au point x0
si il existe un intervalle ouvert I
non vide contenant x0
tel que :
pour tout réel x
de I
Df , f(x)
f(x0)
- On dit que f
admet un maximum absolu égal à f(x0)
au point x0
si
pour tout réel x
de Df
, f(x)
f(x0)
- On dit que f
admet un minimum absolu égal à f(x0)
au point x0
si
pour tout réel x
de Df
, f(x)
f(x0)
Remarques : Un maximum absolu est en fait un majorant
particulier de la fonction, c'est un malorant qui est l'image d'un nombre
de l'ensemble de définition de la fonction f,
et un minimum est de la même façon un minorant particulier
de la fonction, c' est un minorant qui est l'image d'un nombre de l'ensemble
de définition de la fonction f
Quelques exemples :
La fonction f définie sur
par f(x) = x² + 4
admet un minimum relatif et absolu qui est 4 , puisque pour tout réel
x on a : x²
+ 4 4, et
que de plus f(0)
= 4.
La fonction f définie sur -{0}
par f(x) = 1
/ x²
, cette fonction admet bien un minorant 0, mais il n'existe pas de nombres
dont l'image par f soit égal à 0, donc on ne peut pas dire
que 0 est le minimum absolu pour la fonction f
Remarque :
On peut rechercher les extremums
relatifs parmi les nombre qui annulent la dérivée de
la fonction ( à condition que la fonction soit dérivable
)
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