Définition
La fiabilité est la probabilité pour qu'un appareil fonctionne
sans défaillance pendant une durée de temps.
Durée de vie ou temps de bon fonctionnement d'un appareil
C'est la variable aléatoire T qui à tout appareil associe
sa durée de vie ou le temps de bon fonctionnement d'un appareil,
c'est à dire l'instant ou apparaît la première défaillance
( on a choisi t = 0 comme instant de mise en service de l'appareil )
.
Fonction de fiabilité et fonction de défaillance
Définition de la fonction de fiabilité:
C'est la fonction R définie sur [0 ; +
[ par :
R(t) = P( T [0
; t]) = P( T > t) = 1 - P(T
t) = 1 - F(t)
( où F est la fonction de répartition de la variable aléatoire
T )
Remarques :
C'est la probabilité qu'il n'y ait aucune défaillance
avant t unités de temps.
La fonction de répartition F de la variable aléatoire
T est appelée aussi fonction de défaillance puisque c'est
la probabilité d'avoir une défaillance avant l'instant
t.
Estimations :
On prélève un échantillon de N d'appareils et on
pose
- N(t) le nombre d'appareils n'aillant subi aucune défaillance
avant l'instant t
- n(t) le nombre d'appareils ayant subi une défaillance avant
l'instant t.
On peut estimer R(t) par N(t)/N et F(t) par 1 - N(t)/N c'est à
dire n(t)/N, cette méthode d'estimation est appelée méthode
des rangs bruts, elle n'est pas adaptée pour des échantillons
de faible taille.
Dans le cas d'échantillon de faible taille on peut utiliser une
des méthodes :
- méthode des rangs moyens : on estime F(t) par n(t)/(N + 1)
- méthode des rangs médians : on estime F(t) par F(t)
= (n(t) - 0,3)/(N + 0,4).
échantillon prélevé de taille N =
Intervalles de temps ou
durée de vie ou bon fonctionnement :
( placez les bornes des intervalles ou les durées de vie dans
l'ordre croissant et séparés par des virgules )
Effectifs ( nombre d'appareils défaillants
sur l'intervalle ou de durée de vie)
( placez les effectifs correspondants au intervalles précédents
)
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durée
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Effectif
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Effectif
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F(t) méthode des rangs brut
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F(t) méthode des rangs moyens
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F(t) méthode des rangs médians
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Densité de défaillance :
La densité de défaillance f
est la densité de probabilité de la variable aléatoire
T définie plus haut. On a pour tout réel t
positif :
F ' ( t ) = f
( t ) où F
est la fonction de répartition de la variable aléatoire
T
F est la primitive
de la fonction f
qui s'annule en 0.
Taux de défaillance :
On appelle taux de défaillance moyen entre les instants t
et t + h , le
rapport de la probabilité qu'un appareil ait une défaillance
entre les instants t
et t + h sachant
qu'il a fonctionné avant l'instant t
par h.
On appelle taux de défaillance instantané à l'instant
t , la limite
quand elle existe du taux de défaillance moyen entre les instants
t et t
+ h quand h
tend vers 0. On note (
t ) , le taux
de défaillance à l'instant t
.
Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement
On appelle M.T.B.F. ( Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement ) le temps
moyen entre deux défaillances consécutives de l'appareil,
c'est l'espérance mathématique de la variable aléatoire
T : M.T.B.F. = E( T )
Taux de défaillance instantané constant et loi exponentielle
Lorsque le taux de défaillance instantané est constant :
(
t ) =
= constante
la variable T suit une loi exponentielle
de paramètre .
Taux de défaillance instantané et loi de Weibull
Lorsque le taux de défaillance instantané est tel que
pour tout réel t > ,
on a :
( (
t ) = 0 sinon )
où ,
,
sont trois réels strictement positifs alors la variable T suit
la loi de Weibull de paramètres
,
, que l'on
peut déterminer graphiquement avec le papier
de Weibull pour déterminer graphiquement.
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