Sens de variation des fonctions composées

Si I et J sont deux intervalles.
h est une fonction monotone sur I,à valeur dans J.
g est une fonction monotone sur J.
Alors la fonction f : x g[h(x)] est monotone sur I.
Démonstration :
Montrons par exemple que :
Si h est croissante I et g est croissante sur J alors f = g o h (composée de la fonction h suivie de g) est croissante sur I .
Par hypothèse
  • la fonction h est dite croissante sur l'intervalle I c'est à dire pour tous réels a et b de I tels que a ≤ b on a h(a) ≤ h(b)
  • la fonction g est dite croissante sur l'intervalle J c'est à dire : pour tous réels c et d de J tels que c ≤ d on a g(c)g(d)
Soient a et b deux nombres réels quelconques de I tel que a ≤ b,

on a alors h(a) ≤ h(b) puisque h est croissante sur I

la fonction h est à valeurs dans J par conséquent h(a) et h(b) sont deux éléments de J tel que h(a) ≤ h(b).

La fonction g étant croissante sur l'intervalle J , comme

h(a)h(b) alors g(h(a))g(h(b))

On peut donc dire que :

pour tous réels a et b tels que a ≤ b on a f(a)f(b)

On prouve de la même manière :
  • si h est croissante et g est décroissante alors f = g o h est décroissante.
  • Si h est décroissante et g est croissante alors f = g o h est décroissante.
  • Si h est décroissante et g est décroissante alors g o h est croissante.
Le petit tableau suivant permet de résumer ces résultats

( qui ressemble à la règle des signes d'un produit )

g h f = g o h