fonctions continues

Fonction continue en x₀ :
Soit f une fonction numérique, Df son ensemble de définition et x₀ un réel on dit que f est continue en x₀ si elle admet une limite en x₀ et que cette limite est f(x₀).

Fonction continue sur un intervalle I : on dit qu'une fonction f est continue sur I si et seulement si pour tout x₀ appartenant à I f est continue en x_0.

Exemples de fonctions continues :
les fonctions constantes, affines, et plus généralement les fonctions polynômes sont des fonctions continues sur , les fonctions sinus et cosinus sont également continues sur ,
la fonction racine carrée est continue sur [0 ; + [.
Toutes fonctions rationnelles est continue en tout point ou elle est définie ( même chose pour la fonction tangente )

Exemples de fonctions discontinues :

• la fonction f définie sur par :
  
  si x > 1 alors f(x) = (x - 1)/(x - 1) = 1
  si x < 1 alors f(x) = -(x - 1)/(x -1) = -1
  on a donc :
  
  donc f n'est pas continue en 1 ( bien qu'elle soit définie en 1 )
  
• la fonction partie entière
• la fonction échelon-unité

Propriétés :

• la somme de deux fonctions continues en x₀ est une fonction continue en x₀
• la produit de deux fonctions continues en x₀ est une fonction continue en x₀
• le quotient de deux fonctions continues en x₀ est une fonction continue sous reserve que la fonction au dénominateur ne s'annule pas en x₀ .
• si une fonction f est continue en x₀ et une fonction g est continue en f(x₀) alors la fonction (g o f) est elle aussi continue en x₀
• Théorème des valeurs intermédiaire
• QCM fonction continue