fonctions convexes

Définition 1 :
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b] , C_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal
et AB l'arc de courbe d'extremité A(a ; f(a)) et B(b ; f(b) )
On dit que la fonction f est convexe sur [a ; b] si pour tout couple de point (M₁ ; M₂) de l'arc AB de , l'arc M₁M₂ est au dessous de la droite (M₁M₂) :

Comment traduire cette propriété de la fonction sans "passer" par sa courbe représentative ?
Soient x₁ et x₂ les abscisses des points M₁ et M₂ leurs ccordonnées respectives sont donc ( x₁ ; f(x₁)) et (x₂ ; f(x₂)) il faut traduire que tout point P d'abscisse x de l'arc de courbe M₁M₂ est en dessous du point M d'abscisse x du segment [M₁M₂] :

La représentation paramétrique de ce segment est :

où k appartient à [0;1] , le point P a donc pour coordonnées :

où k appartient à [0;1] le point M de même abscisse que P a pour coordonnées :

ce qui permet de définir la convexité d'une fonction sans faire appel à sa courbe représentative :
Définition 2 :
On dit que la fonction f est convexe sur [a ; b] si pour tout
x₁ et x₂ appartenant à [a ; b] et tout réel k appartenant à [0 ; 1] :


Définition 3 : (inégalité de Jensen)
On dit que la fonction f est convexe sur [a ; b] si pour tout
x₁ et x₂ appartenant à [a ; b] et tout couple de réels positifs () tels que :

Remarque : l'inégalité de Jensen se généralise pour tout n-uplet
et tout n-uplet de réels positifs
tels que :


Définition 4 : Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b] , C_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal
et AB l'arc de courbe d'extremité A(a ; f(a)) et B(b ; f(b) )
On dit que la fonction f est concave sur [a ; b] si pour tout couple de point (M₁ ; M₂) de l'arc AB de , l'arc M₁M₂ est au dessus de la droite (M₁M₂) .

Propriété 1 : f est concave si et seulement si (-f) est convexe

Propriété 2 : Si f est convexe et dérivable sur [a ; b], alors l'arc AB de la courbe représentative de f est au dessus de la tangente en chacun de ses points.


Propriété 3 : Si f est concave et dérivable sur [a ; b], alors l'arc AB de la courbe représentative de f est au dessous de la tangente en chacun de ses points.

Propriété 4 : Si f est deux fois dérivable sur [a ; b] et si sa fonction dérivée seconde f'' est positive sur [ a; b], alors la fonction f est convexe sur [a ; b]

Propriété 5 : Si f est deux fois dérivable sur [a ; b] et si sa fonction dérivée seconde f'' est négative sur [ a; b], alors la fonction f est concave sur [a ; b].

Définition 5 : Si est dérivable sur [a ; b] et si I(c ; f(c)) est un point de l'arc AB, tel que f soit convexe sur [a ; c] et concave sur [c ; b] ( respectivement f concave sur [a ; c] et convexe sur [c ; b] ) le point I est appelé point d'inflexion de la courbe représentative de f.


En un point d'inflexion , la tangente "traverse" la courbe représentative de la fonction :

Propriété 6 : si f est deux fois dérivable, les points ou la dérivée seconde f'' de f s'annule en changeant de signe sont des points d'inflexion.

Remarque : les définitions et propriétés s'étendent aux cas d'intervalle ouvert fini ou infini.