Opérations sur les fonctions

Égalité de deux fonctions Deux fonctions f et g d'ensembles de définition respectifs D_fet D_g sont égales si : D_f= D_get Pour tout réel x de D_f, f(x) = g(x) On note alors *f = g*
Opérations sur les fonctions Soit f et g, 2 fonctions d'ensembles de définition respectifs D_fet D_g tels que D_f D_g ( intersection non vide )
Somme de deux fonctions Par définition la fonction qui à tout réel x de D_f D_g associe le réel f(x) + g(x) est appelée la somme des fonctions f et g et est notée f + g : Pour tout réel x de D_f D_g (f + g)(x) = f(x) + g(x) ensemble de définition d'une somme de fonction Propriété sens de variation : la somme de deux fonctions croissantes ( respectivement décroissantes ) sur un intervalle I est une fonction croissante sur cet intervalle ( respectivement décroissante )
Produit d'une fonction par un nombre réel k Par définition la fonction qui à tout réel x de D_f associe le réel k f(x) est produit de la fonction f par le réel k et est notée k f : Pour tout réel x de D_f ( k f )(x) = k f(x) Propriété sens de variation : Si k > 0 les fonctions f et kf ont le même sens de variation Si k < 0 les fonctions f et kf ont des sens de variation contraire
Remarque : pour k = -1, la courbe représentative de de -f est obtenue à partir de la courbe représentative de f par la réflexion d'axe l'axe des abscisses.
De la même façon on définie :
le produit de deux fonctions f et g comme étant la fonction qui à tout réel x de D_f D_g associe le réel f(x) g(x) que l'on note f g : Pour tout réel x de D_f D_g (f g)(x) = f(x) g(x) (ensemble de définition d'un produit de fonctions)
l'inverse d'une fonction g comme étant la fonction qui à tout réel x de D_gtel que g(x) 0 associe le réel 1/g(x) que l'on note 1/g
le quotient de deux fonctions f par g comme étant la fonction qui à tout réel x de D_f D_g tel que g(x) 0 associe le réel f(x)/g(x) que l'on note f/g. ( ensemble de définition d'un quotient de fonctions)
Composée de deux fonctions f suivie de g notée : g o f
La fonction g o f ( fonction composée de f suivie de g )la fonction fabriquée de la manière suivante : si f(x) ∈ D_g , on dit que (g o f ) (x) = g(f(x)) si f(x) D_g , x n'a pas d'image par g o f

Exemple , si f définie sur par f(x) = x² - 1 et g définie sur [0 ; +∞[ par g(x) = alors g o f est définie sur ]-∞; -1] [1 ; +∞[ ( il faut que f(x) ∈ [0 ; +∞[ ) par g o f (x) = g(f(x)) = Inversement si h est définie sur ]-∞; -1] [1 ; +∞[ par h(x) = on peut décomposer en h en g o f avec les définitions précédentes. (ensemble de définition d'une composée de fonctions )
Exemple de construction de courbe de fonction de type x f(x) + k x f(x + k) x f(k x) x \|f(x)\| x f(\|x\|) x k f(x)
Pour trouver le sens de variation des fonctions composées Calculer des images avec une somme de fonctions, un produit de fonctions, une fonction composée de deux fonctions...