fonction indicatrice d'Euler (démonstration)

Propriété :

Si m et n sont premiers entre eux
alors (m×n) = (m)×(n)

démonstration :
Soient m et n deux entiers premiers entre eux , et conservons la définition du morphisme g de la démonstration du théorème Chinois :

Notons G_m le groupe des inversibles de /m (même chose pour G_n et G_mn)
[x]_mn G_mn
[y]_mn G_mn tel que [x]_mn[y]_mn = [1]_mn
g([x]_mn[y]_mn) = g([1]_mn)
g([x]_mn)g([y]_mn) = ([1]_m,[1]_n )
g([x]_mn) est inversible dans G_m x G_n
Réciproquement :
g([x]_mn) est inversible dans G_m x G_n
( [x]_m , [x]_n ) est inversible dans G_m x G_n
( [x]_m , [x]_n ) est inversible dans (/m) x (/n)
[x]_m et [x]_n sont inversible
respectivement dans (/m) et (/n)
donc m est premier avec x et n est premier avec x
x et mn sont premiers entre eux
(puisque m et n premiers entre eux)
[x]_mn est inversible
[x]_mn G_mn

L'application g*
g* : (G_mn) (G_m) x (G_n) définie par :
g* ([x]_mn) = g ( [x]_mn )
est donc un isomorphisme de groupe entre (G_mn) et (G_m) x (G_n) il en résulte : card(G_mn) = card(G_m) x card(G_n) d'où
(m×n) = (m)×(n)