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Rappel sur les inégalités
:
Soient a et b deux réels :
a > b signifie " a strictement supérieur à
b "
a < b signifie " a strictement inférieur à
b "
a  b signifie
" a supérieur ou égal à b "
a  b signifie
" a inférieur ou égal à b"
Quelques exemples :
3 3 est une inégalité
vraie puisque 3 inférieur ou
égal à
3
3 < 3 est une inégalité fausse
2 3 est une inégalité
vraie puisque 2 inférieur
ou égal à 3
-1< 4 est une inégalité vraie
puisque -1 est inférieur
à 4
2 1 est une inégalité
fausse puisque 2 est ni inférieur
à 1 ni égal
à 1
Comparaison de deux nombres :
Comparer deux nombres a et b c'est pouvoir affirmer l'une des inégalités
: a > b, a < b , a
b , a b , ou
l'égalité a = b.
Pour comparer deux nombres a et b, on peut :
- utiliser les théorèmes
de rangement
- étudier le signe de a - b,
si a - b > 0 alors a > b, si a - b < 0 alors
a < b
si a et b sont deux fractions...
Opérations sur les inégalités :
Quelles opérations peut-on utiliser quand on a deux inégalités
(Les propriétés
qui transforment une inéquation en une inéquation
équivalente sont abordées dans la résolution
des inéquations.)
inégalité stricte implique inégalité
large :
si a <
b alors a
b (réciproque fausse)
On peut ajouter membre à membre
deux inégalités de même sens :
- si a
< b et c
< d alors
a + c <
b + d
- si a
b et c
d alors a +
c
b + d
- si a
b et c
d alors a +
c
b + d
- si a
> b et c
> d alors
a + c >
b + d
- si a
< b et c
d alors a +
c < b
+ d
- si a
> b et c
d alors a +
c > b
+ d
On peut multiplier membre à
membre
deux inégalités de même sens et dont
les membres sont tous positifs :
pour tous réels positifs a, b ,c et d on a :
- si 0
a <
b et 0
c < d
alors ac <
bd
- si 0
a
b et 0
c
d alors ac
bd
- si a
b
0 et c
d
0 alors ac
bd
- si a
> b
0 et c >
d
0 alors ac >
bd
Remarques : on ne soustrait ni on ne divise
membre à membre deux inégalités.
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