Intégrale d'une fonction définie, monotone sur un intervalle fermé

Soit f une fonction définie et monotone sur un intervalle
[a ; b]
, par exemple supposons f croissante sur [a ; b].

La fonction étant croissante sur l'intervalle [a ; b] est par suite bornée sur [a ; b] , les bornes inférieures et supérieures de f sur [a ; b] sont dans ce cas m =f(a) et M=f(b).

Considérons la partition [a ; x1[ , [x1, x2[ , ..... [xn-1, b] de
[a ; b]
telle que : x1 - a = x2 - x1 = .....b - xn-1= (b - a)/n .

Les fonctions f et g définies sur [a ; b] respectivement par :
pour tout x [x i -1, x i [ , g(x) = f(xi-1) et h(x) = f(xi) sont en escalier et encadrent la fonction f et :

L'ensemble des intégrales des fonctions en escalier minorant f et l'ensemble des fonctions en escalier majorant f sont deux sous ensembles adjacents de
, puisque l'on peut rendre la différence :

aussi proche de 0 que l'on veut il suffit choisir n suffisamment grand . ( de même si f est décroissante )
Conclusion : Toute fonction définie et monotone sur un intervalle [a ; b] est intégrable sur [a ; b]
On démontre que les fonctions bornées, monotones par intervalles, continues sont intégrables.