intégration par parties

Dans certain cas il est difficile de calculer une intégrale, car on ne connait pas de primitive pour la fonction concernée, c'est dans ce cas que l'on utilise la méthode d'intégration par parties.
Cette méthode consiste à "transporter" le calcul d'une primitive sur une autre fonction.

Soient u et v deux fonctions 2 fois dérivables sur un intervalle I ( condition suffisante ) .
Pour tout couple (a ; b) d'éléments de I on a :


Démonstration :
La fonction uv est une primitive de la fonction
u'v + uv' ( qui est dérivable, donc admet une primitive ) on a donc :

d'où le résultat en utilisant la linéarité de l'intégrale.

Exemple : on veut calculer l'intégrale

on pose :

ce qui permet de calculer l'intégrale :

on dit que l'on a fait une intégration par partie pour calculer cette intégrale.