Inversion complexe

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O ; ; ) .

Définition : C'est l'application du plan qui à tout point M différent de O fait correspondre le points M' tel que :

• OM × OM' = 1
• les demi-droites [OM) et [OM') sont symétrique par rapport à l'axe des réels ( axes des abscisses )
  
  

Traduction algébrique avec les nombres complexes :

C'est l'application du plan qui à tout point M d'affixe z non nul on fait correspondre le point M' d'affixe z' tel que z' = 1/z.

Démonstration : si z et z' sont les affixes respectives de M et M'
OM × OM' = 1 si et seulement si |z'| ×|z|= 1 et Arg(z') = - Arg(z) [modulo 2]
ce qui est équivalent à |z × z'| = 1 et Arg(z × z' ) = 0 [modulo 2]
ou encore z × z' = 1eⁱ⁰ = 1

Propriétés :

• L'image d'une droite D ne passant pas par O par une inversion complexe est un cercle C privé du point O
  
  Démonstration :
  premier cas la droite D est parallèle à l'axe des ordonnées donc d'équation x = a
  
  le couple (a ; y) étant différent de (0 ; 0) sinon z' ne serait pas définis, il faut priver le cercle du point O.
  second cas la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et ne passe pas par l'origine donc d'équation y = ax + b avec b ≠ 0
  
  pour des raisons analogues on exclut l'origine du repère de ce cercle.
  Cas ou la droite passe par l'origine du repère