loi de composition interne ou opération sur un ensemble
Définition :Une loi de composition dans un ensemble E est une opération qui à tout couple ( a; b) d'éléments de E associe un unique élément de E.
Elément neutre pour une loi : e est un élément neutre pour
si pour
tout élément 
de
E on a :
e = e
=
exemples : 0 est l'élément neutre pour l'addition des nombres réels et on peut comprendre pourquoi, il n'a pas d' "influence" sur le résultat de l'addition :
Pour tout réel
on a 
Il en est de même pour 1 qui est l'élément de neutre pour la multiplication des nombres réels :
Pour tout réel on
a 
Autrement dit :
Si pour tous éléments a et b de E muni on a :
a b ∈
E alors la loi
est interne sur E.
On dit par exemple que l'addition définie sur 
( ensemble des entiers naturels est une loi de composition interne,
si vous prenez deux éléments de
et que vous les additionnez, le résultat continue d'appartenir à
. Le résultat de l'opération reste à l'intérieur de l'ensemble.
Propriété d'une loi :
-
est associative
: si pour tous éléments a , b et c de E on a
(a
b) c
= a ( b
c)
-
est commutative
: si pour tous éléments a , b et c de E on a
a
b = b
a
- deux éléments a et b sont symétriques
pour
si a b
= b a
= e ( e représente l'élément neutre de la loi ) -
est idempotente
si pour tout élément a de E on a : a
a = 0
-
est distributive à gauche pour
une autre loi * si pour tous élément a, b, c de E on a
:
a (b *
c) = a * b
a* c -
est distributive à droite pour
une autre loi * si pour tous élément a, b, c de E on a
:
(b * c)a
= b * a
c* a -
distributive pour * si et seulement si elle est distributive
à gauche et à droite pour *
La multiplication et l'addition dans l'ensemble des
nombres réels sont deux lois associatives et commutatives. Dans l'ensemble
des nombres réels 
deux éléments de
symétriques pour l'addition sont plus communément appelés opposés
. Pour la multiplication on parle d'inverses.