lois d'échantillonnage

Loi d'échantillonnage de la moyenne
On considère une population mère et X une variable aléatoire définissant le caractère étudié de cette population d'espérance mathématique
E(X) = m et d'écart type

.
On prélève des échantillons de taille n de cette population, ce qui correspond à n variables aléatoires indépendantes X₁, X₂, X₃, ..... , X_n de même loi que X.
La loi d'échantillonnage de taille n de la moyenne des n variables aléatoires peut être approchée par la loi normale N( m ;

) pour n suffisamment grand.
En effet
E() = (1/n)(E(X₁) + E(X₂) + E(X₃) + .....+ E(X_n ) ) = (1/n) (n E(X)) = E(X) = m
V() = (1/n²)(V(X₁) + V(X₂) + V(X₃) + .....+ V(X_n ) )
= (1/n²) (n V(X)) = V(X)/n

( ) =

Loi d'échantillonnage de la fréquences
On considère une population mère

et A une classe ( catégorie ) de cette population c'est à dire un sous ensemble de

.
Soit X une variable aléatoire à valeur dans {0 ; 1 } définie de la façon suivante pour tout élément

:
X(

) = 1 si

A
X(

) = 0 si

A
On a :
P(X = 1) = P(A) = p où p représente la proportion ou fréquence d'éléments de catégorie A dans la population

.
P(X = 0) = P(

) = 1 - p = q où q représente la proportion ou fréquence d'éléments de

n'étant pas de catégorie A dans la population

.
On prélève un échantillon de taille n de cette population, c'est à dire n éléments de

ce qui correspond à n variables aléatoires indépendantes X₁, X₂, X₃, ..... , X_n de même loi que X.
On a :
E(X) = 0×P(X = 0) + 1× P(X = 1) = p
V(X) = (0 - p)²×P(X = 0) + (1 - p)×P(X = 1) = p (1 - p) = pq
La variable aléatoire définie par =(X₁ + X₂ + X₃ + .....+ X_n ) /n
associe à tout échantillon de taille n la fréquence d'éléments de catégorie A de cet échantillon.
La loi d'échantillonnage de la fréquence d'éléments de catégorie A peut être approchée par la loi normale N( p ;

) pour n suffisamment grand avec

En effet :