loi géométrique

Cas d'une loi géométrique
Soit une suite finie d'expériences aléatoires identiques 1,2,...,n, ...., indépendantes deux à deux ayant chacune deux issues possibles : un évenement A se réalise ( succés ) ou ne se réalise pas (échec ).
Notons p la probabilité de l'évenement A.
donc q = 1 - p est la probabilité de l'évenement .
( schéma de Bernoulli )
Notons A_k l'événement "A se réalise à la k^ème expérience".
Ce qui sous entend qu'il ne se réalise pas durant les k - 1 premières expériences aléatoires et qu'il a toute liberté de se réaliser ou non sur les dernières ( d'ailleurs on peut trés bien décider de s'arrêter dès que A est réalisé ) .
On a donc :

on peut remarquer que k appartient à = - {0}

Loi Géométrique : On dit qu'une variable aléatoire X,
à valeurs dans suit une loi géométrique si sa loi de probabilité est :


où p est un réel de ]0 ; 1[ et q = 1 - p

p est paramètre de la loi

Espérance et variance mathématique :
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p est :

La variance mathématique d'une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p est :


jusqu'à n = et p = réel ou rationnel ?
Loi de probabilité de X :

E(X) = , V(X) =

simulation d'une loi géométrique