matrice diagonale, diagonalisation d'une matrice carrée
Matrice diagonale :
Une matrice diagonale D est une matrice carrée dont tous
les éléments qui n'appartiennent pas à la diagonale
( d11 ; d22 ; ........; dnn ) sont
nuls , l'interêt pour ce type de matrice, c'est que :
- la somme de deux matrices diagonales est une matrice diagonale.
- le produit de deux matrices diagonales
est une matrice diagonale.
( ce produit est commutatif ) - la puissance d'une matrice diagonale est une matrice diagonale.
- l'exponentielle d'une matrice diagonale est une matrice diagonale.
Voir opérations sur les matrices
Diagonalisation d'une matrice M ou d'un
endomorphisme u :
Diagonaliser une matrice de dimension n c'est trouver une base de
vecteurs dans laquelle la matrice est diagonale :
c'est à dire une base (
1,2,.....,
n)
telle que :
u(1)
= 
1 1
u(2)
= 2 2
...
u(n)
= n n
par abus de langage sous forme matricielle :
M 1
= 1 1
M 2
= 2 2
...
M n
= n n
En déterminant les valeurs
propres et les vecteurs propres d'un endomorphisme, on peut
dans certains cas diagonaliser une matrice ( ou un endomorphisme
) , il suffit de déterminer n vecteurs propres linéairement
indépendants.
On admet que si les valeurs propres sont deux à deux distinctes
alors la matrice est diagonalisable.
Vous pouvez vérifier ces propriétés en prenant
comme matrice de passage P,
la matrice formée des vecteurs propres de la matrice. ( en
colonne )