sujet D page 267 ( géométrie dans l'espace avec produit scalaire)

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M Saint-Martin
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sujet D page 267 ( géométrie dans l'espace avec produit scalaire)

Message par M Saint-Martin » mer. 6 mai 2020 15:55

sujetD page 297.png
cours pour la résolution de l'exercice :
produit scalaire de deux vecteurs
définition et caractérisation d'un plan dans l'espace
comment déterminer une équation cartésienne de plan
n'hésitez pas à laisser vos questions à la suite de ce message.
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M Saint-Martin
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correction: sujet D page 267 ( géométrie dans l'espace avec produit scalaire)

Message par M Saint-Martin » ven. 8 mai 2020 19:43

1.a.
B(1;0;0)
C(1;1;0)
E(0;0;1)
AH = AD + AE donc H(0;1;1)
AF = AB + BF = AB + AE donc F(1,0,1)
D(0;1;0)
FD(-1 ;1 ; -1)
I milieu de [AB] : I(1/2;0;0)
J milieu de [EH] : J(1/2;1/2;1/2)
K milieu de [BC] : K(1;1/2;0)
L milieu de [CG] L(1,1,1/2)
IJ(0;1/2;1/2)
IK(1/2;1/2;0)
IJ.FD = 0 + 1/2 - 1/2 = 0 donc IJ FD
IK.FD = -1/2 + 1/2 + 0 = 0 donc IK FD
donc la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK)
1.b.
FD est donc un vecteur normal au plan (IJK) donc
une équation cartésienne de (IJK) est de la forme :
-x + y - z + d = 0
déterminons d, I(1/2;0;0) appartient au plan (IJK)
donc ses coordonnées vérifient l'équation de (IJK)
-1/2 + d = 0 soit d = 1/2
(IJK) : -x + y - z + 1/2 = 0 ( est une équation cartésienne du plan (IJK)
2. D(0;1;0) est un point de (FD) et FD(-1;1;-1) est un vecteur directeur de (FD)
donc une représentation paramétrique de (FD) est :
{x = 0 - t
{y = 1 + t
{z = 0 - t
3. Intersection de (FD) et (IJK)
il faut résoudre le système :
{x = 0 - t
{y = 1 + t
{z = 0 - t
{-x + y - z + 1/2 = 0
en reportant les expressions de x, y et z dans l'équation du plan...
{x = -t
{y = 1 + t
{z = -t
{t + 1 + t + t + 1/2 = 0
on résout l'équation en t
{x = -t
{y = 1 + t
{z = -t
{t = -1/2
on reporte t dans x, y, z
{x = 1/2
{y = 1/2
{z = 1/2
Le point M d'intersection et (IJK) et (FD) a pour coordonnées M(1/2;1/2;1/2)
4. IJ.IK = -1/4 + 1/4 + 0 = 0 donc IJK est rectangle en I
IJ = √(1/4+1/4)=√(2/4) = √(2)/2
IK = √(1/4+1/4) = √(2/4) = √(2)/2
JK(1/2;0;-1/2) donc JK = √(1/4+1/4) = √(2/4) = √(2)/2
IJ = IK = JK donc IJK est équilatéral
la hauteur h² de ce triangle est tel que :
h² + (√(2)/4)² = 2/4
h² = 2/4 - 2/16 = 6/16
h = √(6)/4
aire de IJK = IJ x h /2 = √(2)/2 √(6)/4 /2 = √(12)/16 = 2√(3)/16 = √(3)/8
5. FD = √(3)
volume du tétraèdre FIJK = 1/3 x aire(base) x hauteur
= 1/3 x √(3)/8 x √(3) = 1/8
6. IJ(0;1/2;1/2) et KL(0;1/2;1/2)
donc les droites (IJ) et (KL) sont parallèles.
geoespace3.png
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