loi normale

Définition
X suit une loi normale d'espérance m = et de variance ² =
si sa densité est donnée par :

x est un réel
On dit que X suit une loi N(m ; ² ) ou N( m ; )
Dans le cas particulier où m = 0 et = 1 , on dit que X suit une loi normale centrée réduite et sa densité est définie par :

Etude de la densité de la loi normale N( m ; )

Propriétés :

La variable aléatoire Z = (X - m)/ suit une loi N(0; 1)

Soient X et Y deux variables indépendants aléatoires suivants les lois
N(m1 ; 1 ² ) et N(m2 ; 2 ² ) alors la variable aléatoire X + Y suit une loi normale N(m1 + m2 ; 1 ²+ 2 ² )
On peut généraliser cette propriété à n variables aléatoires indépendantes.

Espérance et variance :
E(X) = m et V(X) = ²

Courbe représentative de la densité de la loi N(0;1) :

une image par la fonction de répartition
rappel F(x) = p( X x ) noté encore : (x) dans le cas d'une loi N( 0 ;1 )
F( ) =
Propriétés de la fonction (x) :
Pour tout réel x on a : (- x) = 1 - (x)