Problème du bac sti (GET- GEL) 2000

Dans ce problème :

• I désigne l'intervalle ]0 ; +∞[
• f désigne la fonction définie, pour tout x de l'intervalle ]0 ; +∞[, par :
  
• f ' désigne la fonction dérivée de la fonction f;
• C_f désigne la courbe représentative de la fonction f dans le plan rapporté à un repère orthogonal (Ox, Oy) d'unité graphiques 4 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

Partie A
1.a. Vérifier que, pour tout x de l'intervalle I :

b. Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers +∞, et la limite quand x tend vers 0.
En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe C_f
2. a. Vérifier que pour tout x de l'intervalle I :

b. Étudier, pour tout x de l'intervalle I , le signe de f'(x) .
En déduire le sens de variation de la fonction f et que, pour tout x de l'intervalle I, f(x) > 0.
3. a. Résoudre, dans l'intervalle I,
l'équation d'inconnue x, f(x) = 9/2.
b. Déduire, du résultat obtenu à la question précédente, les coordonnées des points A et B, points d'intersection de la courbe C_f et de la droite dont une équation est y = 9/2.
( A est le point d'intersection dont l'abscisse est la plus petite.)
Partie B
Soit la fonction g définie pour tout x de l'intervalle I, par :
g(x) = e^x + 1.
On note C_g la courbe représentative de la fonction g dans le plan rapporté au repère (Ox, Oy).
C_g est donnée sur le graphique ci-après.
On note h la fonction définie , pour tout x de l'intervalle I, par:
h(x) = f(x) - g(x).
1. a. Étudier, pour tout x de l'intervalle I, le signe de h(x) ; en déduire la position de C_f par rapport à la courbe C_g.
b. Résoudre dans l'intervalle I, l'inéquation h(x) < 0,05.
On admet que deux points du plan de même abscisse sont indiscernables sur un dessin dès que la différence de leurs ordonnées a une valeur absolue inférieure à 0,05.
Déterminer un demi-plan dans lequel les courbes C_f et C_g sont indiscernables.
c. Tracer, avec soin, la courbe C_f sur le graphique ci-après.
2. Montrer que, pour tout x de I :

en déduire une fonction primitive de h sur I.



3. Calculer l'aire S de la partie du plan délimitée par la courbe C_f, la courbe C_g et les droite d'équation
x = ln 2 et x = ln3. ( Exprimer le résultat en cm² ) Correction :
Partie A
1.a. Cela correspond à démontrer une égalité.
Pour tout x de l'intervalle I :

donc

1.b


Si x > 0 alors e^x > 1, d'ou e^x - 1 > 0 par conséquent :

on en déduit :


par définition la droite d'équation x = 0 ( axe des ordonnées ) est asymptote à la courbe C_f (asymptote verticale )
2.a. f est dérivable sur I et :

Remarque : on a utiliser la formule suivante pour dérivée

b. Le signe de f'(x) ne dépend que du signe de e^x - 2, puisque les expression e^2x et (e^x - 1) sont toujours strictement positives sur I.
Étudions le signe de e^x - 2
e^x - 2 > 0 ⇔e^x > 2 ⇔ln e^x > ln2 ( car la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+∞[ )
⇔ x > ln 2
donc f est décroissante sur ]0 ; ln2] et elle est croissante sur
[ln2 ; + ∞ [.

f admet sur I un minimum absolu en ln 2 , ce minimum est 4, donc pour tout x de l'intervalle I, f(x) ≥ 4 > 0.
3.a.

Pour résoudre cette dernière équation, posons X = e^x
on a X² = e^2x et X est un nombre strictement positif puisque
e^x > 0.
2X² - 9X + 9 = 0

Ces deux solutions pour X sont acceptable puisque strictement positives
en reprenant X = e^x
on a donc e^x = 3 ou e^x =3/2
d'ou x = ln3 ou x = ln(3/2)
S = {ln3; ln(3/2)}
3. b. Il s'agit d'interprétation graphique les solutions de l'équation f(x) = 9/2 sont les abscisses des points d'intersections de C_f avec la droite d'équation réduite y = 9/2, on a trouvé ln (3/2) et ln3 comme solution pour l'équation f(x) = 9/2, donc A et B sont les points
A(ln(3/2) ; 9/2 ) , B(ln3 ; 9/2).µ
Partie B
1.a

Étudions le signe de h(x) sur I :
sur I, e^x - 1> 0, donc h(x) > 0.
On en déduit que la courbe représentative de f est au dessus ( strictement au dessus ) de la courbe représentative de g.
1.b.

(Pour résoudre cette inéquation, on utilise le théorème de rangement des inverses et des logarithmes.)
Le demi-plan dans lequel les courbes C_f et C_g sont indiscernables est le demi-plan caractérisé par l'inéquation
x ≥ ln 21.
c.

2. Pour tout réel x de I on a :

( voir comment démontrer une égalité )
L'expression qui suit est de la forme u'/u avec u(x) = e^x - 1 et u'(x) = e^x avec u> 0 sur I

On sait que une primitive d'une telle fonction est ln |u|
Soit H une primitive de h sur I , on a alors :

3. On sait que la courbe représentative de f est au dessus ( strictement au dessus ) de la courbe représentative de g sur I
donc l'aire de la partie du plan est égale en unité d'aire à :

Soit A l'aire de partie du plan définie dans l'énoncé, l'unité d'aire étant 4 cm² , A = 4 ln(4/3) cm²