Problème du bac série STI (GET, GE), 1997

Dans tout le problème, I désigne l'intervalle ]0 ; +∞[.
Partie A
Soit g la fonction définie sur l'intervalle I par :
g(x) = x² + 6 - 4ln x
On admet que le tableau de variation de g est le suivant :

1. calculer g().
2. En déduire que g est une fonction positive sur l'intervalle I.
Partie B
Soit la fonction définie sur l'intervalle I par :

On f' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle I et C la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormal d'unités graphiques 4 cm.
1. a. Étudier la limite de f en + ∞
b. Étudier la limite de f en 0 et en déduire l'existence d'une asymptote à la courbe C.
c. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle I,

d. Déduire de la partie A, le signe de f'(x) puis le sens de variation de f sur l'intervalle I.
e. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle I.
2. Soit (D) la droite d'équation y = x/4 dans le repère
a. Montrer que la droite (D) est asymptote à la courbe (C)
b. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection de la courbe (C) et de la droite (D)
c. Déterminer la position de la courbe (C) par rapport à la droite (D).
3. En utilisant les résultats précédents, tracer avec soin dans le même repère la droite (D) et la courbe (C)
4. On considère la fonction h définie sur l'intervalle I par :

a. En remarquant que est de la forme u'(x).u(x), déterminer une primitive de la fonction h.
b. Calculer en cm² l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équation x = et x = e.
Correction
Partie A
1 et 2.

g atteint son minimum en sur I et g()> 0 donc g(x) > 0 pour tout réel x appartenant à I.
Partie B
1.a


1.b

Donc la courbe représentative de f admet une asymptote verticale d'équation x = 0.
c.

d. 4x² > 0 sur I donc f'(x) est du signe de g(x) or g(x) > 0 sur I d'ou f est strictement croissante sur I.
e.

2.a.

donc la droite d'équation y = x/4 est asymptote à la courbe (C) ( c'est une asymptote oblique ).
b. Soit M(x ; y ) le point d'intersection de (D) et (C) alors le couple (x ; y ) est solution du système :

Résolvons sur I l'équation f(x) = x/4

d'ou

Les coordonnées du point d'intersection de (D) et (C) sont
( ; /4)
c. Pour étudier la position de (C) par rapport à (D) il faut étudier le signe de f(x) - x/4, le signe de f(x) - x/4 dépend de -1 + 2 ln x
-1 + 2ln x > 0 ⇔ 2 ln x > 1 ⇔ ln x > 1/2 ⇔x >
Autrement dit la courbe (C) est au dessous de la droite (D) sur l'intervalle ]0 ; ] et (C) est au dessus de la droite (D) sur l'intervalle [ ; + ∞[
3.

4.a. Soit H une primitive de h sur I :

b. Soit A l'aire du domaine, (C) étant au dessus de (D)
on a :