Problème du bac sti (GM, GC, GEN) 1997

On appelle f la fonction numérique de la variable réelle définie sur ]-2 ; +∞[ par :

On note C sa courbe représentative dans le repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.

Partie A - Etude de la fonction f

1. Etudier la limite de f(x) lorsque x tend vers -2.
En déduire l'existence d'une asymptote D à la courbe C.
Donner une équation de cette asymptote.
2. a. Etudier la limite de f(x) lorsque x tend vers + ∞.
b. Déterminer trois nombres a, b, c tels que, pour tout x élément de ]-2 ; +∞[ , on ait :

c. Montrer que la droite Δ d'équation

est asymptote à la courbe C.
Etudier la position relative de la courbe C et de la droite Δ .
3. a. Montrer que la dérivée f' de la fonction f
peut s'écrire de la façon suivante :

b. En déduire les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de cette fonction sur sur ]-2 ; +∞[.
4. Représenter sur un même graphique les asymptotes D et Δ et la courbe C.
Partie B

Correction : 1.

donc la droite d'équation x = -2 est asymptote à la courbe ( asymptote verticale )
2.a.

2.b.

On en déduit que f(x) peut se mettre sous la forme :

c.

donc la droite d'équation

est asymptote à C.
Pour étudier la position relative de C par rapport à la droite Δ
il faut étudier le signe de la différence :

si x + 2 > 0 c'est à dire si x > -2 cette différence est négative
donc C est en dessous de la droite Δ sur l'intervalle ]-2 ; +∞[.
3. a. f est dérivable sur ]-2 ; + ∞[.


donc on a bien pour tout réel x de ]-2 ; + ∞[
.
f'(x) > 0 sur ]-2 ; + ∞[ donc f est strictement croissante sur
]-2 ; + ∞[ :