Problème du bac sti (GM, GC, GEN) 1997

Partie A
Partie B - Résolution de l'équation

sur ]0 ; +∞[
1. Représenter avec précision sur le même graphique la courbe représentative de la fonction numérique h de la variable réelle x définie sur ]0; +∞[ par :

( l'étude de la fonction h n'est pas demandée ).
b. Déterminer graphiquement une valeur approchée à 10-1 près de la solution de l'équation f(x) = h(x).
2.a. Démontrer que sur ]0 ; +∞[ l'équation f(x) = h(x) est équivalente à x3 + 4x² - 4 = 0
b. On appelle g la fonction numérique de la variable réelle x définie sur ]0; +∞[ par : g(x) = x3 + 4x² - 4
Calculer la dérivée g' de la fonction g. En déduire que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique x0 sur l'intervalle [0,5 ; 1]. ( la réprésentation graphique de la fonction g n'est pas demandée.)
c. Déterminer une valeur approchée de x0 à 10-2 près par défaut.
Partie C
Encadrement de la valeur d'une intégrale par lecture graphique.
1.On note

hachurer la partie du plan dont le nombre J mesure l'aire, en unité d'aire.
2. Parmi les intervalles proposés ci-dessous, indiquer après lecture graphique et sans justification celui qui contient le nombre J :

Correction :1.a.
Courbe représentative d'une fonction
b. Il suffit de regarder l'abscisse du point d'intersection
des courbes C et H : on lit graphiquement environ : on lit environ : 0,9.
2.a.

2.b. la fonction g est dérivable sur ]0 ; + ∞[ (toute fonction polynôme est dérivable sur donc sur ]0 ; +∞[) et on a :
g'(x) = 3x² +8x = x(3x + 8) > 0 sur ]0 ; +∞ [ donc g'(x) > 0 sur l'intervalle ]0,5, 1[ de plus 0 appartient à l'intervalle ]f(0);f(0,5)[ puisque :
Théorème de la bijection
on peut donc en conclure que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique sur unique x0 sur l'intervalle [0,5 ; 1], avec la calculatrice on trouve une valeur approchée de x0 à 10-2 près par défaut : x0 ≈ 0,90
Partie C

J appartient à l'intervalle [1 ; 2[