fonction du type a cos(ωt + φ) ou a sin(ωt + φ)
Exemples d'études de fonctions f de type
On veut étudier la fonction f définie sur [0 ; π]
par
f(t) = 3sin(2t - π/3)
1) Dérivée de la fonction f :
On a f qui est de la forme 3sin u avec u(t) =2t - π/3
donc
la dérivée d'une fonction f de la forme f = a sin u est
la fonction f ' = a u'cos u
donc ici f '(t) = 6 cos (2t - π/3)
2) Etude du signe de la dérivée sur l'intervalle [0 ;
π]
On cherche quel intervalle décrit X = 2t - π/3
quand t décrit l'intervalle [0 ; π]
t 
[0 ; π]
0 
t
π
0 2t
2π
- π/3
2t - π/3
2π- π/3
- π/3
2t - π/3
5π/3
- π/3
X 5π/3
On étudie en suite le signe de cos X sur l'intervalle [- π/3
; 5π/3 ] en s'aidant du
cercle trigonométrique :
- cos X > 0 si X
[- π/3 ; π/2[
]3π/2
; 5π/3 ] - cos X < 0 si X
] π/2 ; 3π/2[
- cos X = 0 si X = π/2 ou X = 3π/2
on en déduit le signe de cos (2t - π/3) suivant les valeurs de t :
- cos (2t - π/3) >
0 si 2t - π/3 [-
π/3 ; π/2[
]3π/2
; 5π/3 ]
c'est à dire si 2t]
0 ; 5π/6[
]11π/6 ;2π
]
donc si t] 0 ;5π/12[
]11π/12
;π ] - cos (2t - π/3) <
0 si 2t - π/3 ]
π/2 ; 3π/2[
c'est à dire si 2t]
5π/6 ; 11π/6[
donc si t] 5π/12
; 11π/12[ - cos (2t - π/3) = 0
si 2t - π/3 =π/2
ou 2t - π/3= 3π/2
c'est à dire si 2t = 5π/6 ou 2t = 11π/6
donc si t = 5π/12 ou t = 11π/12
On peut alors en déduire les variations de la fonction f sur l'intervalle
[0 ; π]
f(0) = 3sin(- π/3) = -3
/2
f(5π/12) = 3sin(5π/6
- π/3) = 3sin(3π/6)
= 3sin(π/2)=3
f(11π/12) = 3sin(11π/6
- π/3) = 3sin(9π/6)
= 3sin(3π/2)= -3
f(π) = 3sin(2π-
π/3) = -3/2
