Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple

Pour comprendre la définition de diviseurs, multiplesdans prenez deux entiers naturelsstrictement positifs et puis la liste des diviseurs de ces deux nombres et la listes des premiers multiples :



Définition du pgcd ( plus grand diviseur commun ) à deux entiers naturels non nuls

Soient a et b deux entiers naturels non nuls, et soit Da l'ensemble des diviseurs de a et Db l'ensemble des diviseurs de b, l'ensemble Da Db est l'ensemble des diviseurs communs de a et de b, ce sous ensemble non vide de ( 1 Da Db ) majoré par a et par b admet donc un plus grand élément appelé plus grand diviseur commun de a et b .
Notation : pgcd(a,b) = a b

Définition du ppcm ( plus petit commun multiple ) à deux entiers naturels non nuls
Soient a et b deux entiers naturels non nuls, et soit Ma l'ensemble des multiples de a et Mb l'ensemble des multiples de b, l'ensemble Ma Mb est l'ensemble des multiples communs de a et de b, ce sous ensemble non vide de ( ab Ma Mb ) minoré par a et par b admet donc un plus petit élément appelé plus petit commun multiple de a et b .
Notation : ppcm(a,b) = a v b

Propriétés du pgcd et du ppcm :

  • v et sont des lois de composition interne sur
  • v et sont des lois commutatives et associatives.
  • la multiplication sur est distributive par rapport à la loi et par rapport à la loi v.
  • a × b = ( a b ) × ( a v b )

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