Polynôme premier

Un polynôme P dans K[X] est dit premier ou irréductible si il n'est pas un polynôme constant et si il admet comme seuls diviseurs , les polynômes constants et les polynômes qui lui sont proportionnels :

- Tous les polynômes du premier degré sont des polynômes irréductibles dans [X].

- le polynôme X² + 1 est un polynôme irréductible dans [X] mais il ne l'est plus dans [X],
X² + 1 = (X + i)(X - i)

- Dans [X], les seuls polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 sans racines réelles.

Décomposition d'un polynôme en produit de polynômes premiers

Tout polynôme P non constant est décomposable en un produit de polynômes irréductibles, en fait tout polynôme P peut se mettre sous la forme :

ou α est une constante et P₁, P₂, ..... est une suite de polynômes normalisés, cette dernière décomposition est unique.

Tout polynôme de [X] se factorise en un produit de facteurs du premier degré.

Tout polynôme de [X] se factorise en un produit de facteurs du premier degré et de trinômes du second degré à discriminant négatif.