racines d'un polynôme

Soit a un nombre réel, et p(x) un polynôme. On dit que a est une racine ou un zéro de p(x) si p(a) = 0
( c'est à dire si l'image de a par la fonction polynôme est 0)
Exemples :
- le nombre -2 est une racine du polynôme
p(x) = x² + 3x + 2 , en effet p(-2) = 4 - 6 + 2 = 0
- le nombre 1 est racine du polynôme
p(x) = (x - 1)(x² + 2x - 5) car
p(1) = (1 - 1)(1² + 2 - 5) = 0 × (- 3) = 0
Remarque :
Il est équivalent de dire : "a est une racine de p(x)" ou "a est une solution de l'équation p(x) = 0"
Comment trouver les racines d'un polynôme :

1 ère méthode : on teste plusieurs valeurs et si on tombe sur une qui annule le polynôme...

2 ème méthode : on résout l'équation p(x) = 0
On s'arrange pour mettre le polynôme sous la forme d'un produit dont les facteurs sont du premier ou second degré et on utilise la règle du produit nul.
Factorisation d'un polynôme connaissant les racines d'un polynôme :

Propriété :

si un nombre réel a est une racine d'un polynôme p(x) alors le polynôme p(x) peut être mis sous la forme d'un produit de facteurs dont l'un est (x - a) et réciproquement

Cette propriété est trés utile pour factoriser un polynôme quand on connait une de ses racines (voir méthode de factorisation )

Complément les racines

Généralisation de la propriété précédente
la propriété précédente peut être généralisée si sont les m racines d'un polynôme p(x) alors p(x) peut se mettre sous la forme :

ou q(x) est un polynôme (tel que deg q + m = deg p)
(voir exemple paramétrable pour un polynôme du 4ème degré )

Multiplicité d'une racine (bac +)
Soit p(x) un polynôme, α un nombre réel et n un entier naturel, on dit α est une racine d'ordre n du polynôme p(x) si le p(x) est divisible par sans l'être par
Exemple paramétrable

Propriété : pour que α soit une racine d'ordre n du polynôme p(x) il faut et il suffit que toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre n-1 s'annulent en α sans que la dérivée d'ordre n s'annule en α :