polynomes du second degré

Différentes formes d'un polynôme du second degré
Un polynôme du second degré peut être mis sous plusieurs formes :
le polynôme p(x) = x² - 6x + 5 est sous la forme développée mais il peut être mis sous la forme

• canonique : x² - 6x + 5 = x² - 6x + 9 - 4 = (x - 3)² - 4
• factorisée (x - 3)² - 4 = (x - 3 - 2)(x - 3 + 2) = (x - 5)(x - 1)

3 formes courantes pour un polynôme du second degré :

• Forme développée : ax² + bx + c ( où a,b,c sont des réels tels que a ≠ 0).
• Forme canonique : a(x - α)² + β (où a, α ,β sont des réels tels que a ≠ 0) : la variable x n'apparaît qu'une seule fois.
• Forme factorisée : a(x - x₁)(x - x₂) (où a, x₁, x₂ sont des réels tels que a ≠ 0) : le polynôme est sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.

Un polynôme du second degré peut toujours se mettre sous les 2 formes : développée et canonique. ( voir démonstration)

Pour passer d'une forme à l'autre il faut quelques bases en calcul littéral
. Forme canonique et racines d'un polynôme du second degré

En mettant un polynôme du second degré sous la forme canonique, trois cas peuvent se produirent

exemple :

• 1 er cas Le polynôme 4x² + 4x + 9 = 4x² + 4x + 1 + 8 = (2x + 1)² + 8. la dernière expression obtenue est la forme canonique de ce polynôme. On remarque que sa forme canonique est une somme de 2 nombres positifs (dont l'un est strictement positif) : (2x + 1)² et 8. Donc il ne peut pas s'annuler quelque soit la valeur de x. (autrement dit il n'a pas de racines réelles)
• 2 ème cas Le polynôme x² + 6x + 9 = (x + 3)². Ici, la forme canonique et la forme factorisée correspondent.
  La seule valeur pouvant annuler (x + 3)² est - 3. (autrement dit une seule racine)
• 3 ème cas Le polynôme x² + 2x - 3 = x² + 2x + 1 - 4 = (x + 1)² - 4. La forme canonique de se polynôme est de la forme a² - b² .
  Le polynôme peut donc être factorisé. (x + 1)² - 4 = (x + 1 - 2)(x + 1 + 2) = (x - 1)(x + 3). L'équation (x - 1)(x + 3) = 0 admet 2 solutions 1 et -3.( autrement dit 2 racines )

Conclusion :

Quel que soit le polynôme du second degré choisi, la forme canonique sera soit une différence de 2 carrés, soit une somme de deux nombres positifs, soit un carré à un coefficient réel multiplicatif prés.

Dans l'ensemble des nombres réels, un polynôme du second degré peut admettre soit aucune racine , soit une racine, soit 2 racines

Discriminant d'un polynôme du second degré
Visualisation avec Applet Geogebra

Dans le cas général on trouve pour la forme canonique d'un polynôme du second degré ax² + bx + c :

ou le nombre Δ = b² - 4ac appelé discriminant du polynôme
ax² + bx + c joue un rôle important pour la recherche des racines.

• Si Δ < 0, à l'intérieur des crochets de la forme canonique on trouve une somme de 2 nombres positifs dont l'un est strictement positif, ax² + bx + c n' a pas de racines réelles (ne pouvant pas s'annuler).
• Si Δ = 0 , la forme canonique est réduite à :
  
  donc une seule racine : x₀ = - b/2a pour ax² + bx + c.
• Si Δ > 0 , à l'intérieur des crochets de la forme canonique on trouve une différence de 2 carrés. On obtient après avoir factorisé (A² - B² = (A - B)(A + B)) les 2 racines du polynômes
  

propriétés des racines d'un polynôme du second degré
Dans le cas ou le polynôme ax² + bx + c admet deux racines x₁ et x₂ en posant
S = x₁ + x₂ et P = x₁x₂,
la somme et le produit des racines
On obtient une relation entre S, P, a, b, c :

le produit et la somme des deux racines sont calculables à partir des coefficient de ax² + bx + c
Si on connaît le produit et la somme de deux nombres réels,on peut en déduire que ces nombres sont solutions del'équation
x² - Sx + P = 0.