polynomes du second degré

Différentes formes d'un polynôme du second degré
Un polynôme du second degré peut être mis sous plusieurs formes :
le polynôme p(x) = x² - 6x + 5 est sous la forme développée mais il peut être mis sous la forme

3 formes courantes pour un polynôme du second degré :

Un polynôme du second degré peut toujours se mettre sous les 2 formes : développée et canonique. ( voir démonstration)

Pour passer d'une forme à l'autre il faut quelques bases en calcul littéral
. Forme canonique et racines d'un polynôme du second degré

En mettant un polynôme du second degré sous la forme canonique, trois cas peuvent se produirent

exemple : Conclusion :

Quel que soit le polynôme du second degré choisi, la forme canonique sera soit une différence de 2 carrés, soit une somme de deux nombres positifs, soit un carré à un coefficient réel multiplicatif prés.

Dans l'ensemble des nombres réels, un polynôme du second degré peut admettre soit aucune racine , soit une racine, soit 2 racines

Discriminant d'un polynôme du second degré
Visualisation avec Applet Geogebra

Dans le cas général on trouve pour la forme canonique d'un polynôme du second degré ax² + bx + c :
Forme canonique
ou le nombre Δ = b² - 4ac appelé discriminant du polynôme
ax² + bx + c joue un rôle important pour la recherche des racines.


propriétés des racines d'un polynôme du second degré
Dans le cas ou le polynôme ax² + bx + c admet deux racines x1 et x2 en posant
S = x1 + x2 et P = x1x2,
la somme et le produit des racines
On obtient une relation entre S, P, a, b, c :

le produit et la somme des deux racines sont calculables à partir des coefficient de ax² + bx + c
Si on connaît le produit et la somme de deux nombres réels,on peut en déduire que ces nombres sont solutions del'équation
x² - Sx + P = 0.