Un polynôme de Tchebitchev est défini par : ou n est un entier naturel Exemple : Relation de reccurence de Tn on démontre que la suite Tn des polynômes vérifie la relation de récurrence : pour tout entier naturel n.
le polynôme de Tchebitchev de degré n = démonstration Degré du polynôme de Tchébitchev Un polynôme de Tchebitchev défini par ou n est un entier naturel est un polynôme de degré n : la démonstration peut se faire par récurrence : T0 et T1 sont respectivement de degré 0 et 1, supposons que pour un certain rang p on a Tp et Tp+1 respectivement de degré p et p+1, on a alors Tp+2 qui est un polynôme de degré p+2 puisqu'il est différence d'un polynôme de degré p+2 et d'un polynôme de degré p +1 ( voir relation de récurrence ) , on en déduit que Tp+3 est un polynôme de degré p+3, par conséquent Tp est un polynôme de degré p. Coefficient du monôme de plus degré de Tn Le coefficient du monôme de plus haut degré de Tn est 2n-1 pour tout entier naturel n non nul . La propriété est vraie à l'ordre 1 et à l'ordre 2 , supposons la vraie jusqu'à un certain rang n on a : d'où le résultat. Parité du polynôme de Tchebitchev Montrons par récurrence que pour tout entier naturel p on : T2p est pair , T2p+1 impair. - La propriété est vraie au rang p = 0 en effet T0 est pair et T1 est impair - Supposons la propriété vraie pour un certain rang n = 2p, on a donc : - Démontrons que la propriété reste vraie au rang suivant : la propriété restant vraie pour p+1, elle est vraie pour tout entier naturel p.