approximation d'un pourcentage

Approximation de ( 1 + h)ⁿ ou n est un entier naturel

Considérons la fonction f définie sur par :
f(x) = xⁿ ou n est un entier naturel

la fonction f est dérivable sur et pour tout réel x on a :
f'(x) = nx^n-1 ,

donc pour tout réel h on a :
f(1 + h) f(1) + f'(1)h
(voir approximation affine )
( 1 + h)ⁿ 1 + nh
le nombre 1 + nh est une approximation affine de ( 1 + h)ⁿ

Approximation de (1 + h)^a ou a est un nombre réel
Considérons la fonction f définie sur sur ]0 ; + ∞ [ par :
f(x) = x^a = e^alnx
la fonction f est dérivable sur et pour tout réel x on a :
f'(x) = (a/x)e^alnx = (a/x)x^a = ax^a-1
donc pour tout réel h on a encore pour tout réel h de l'intervalle ]-1; + ∞ [
f(1 + h) f(1) + f'(1)h
dans ce cas encore, on peut dire que 1 + nh est une approximation affine
de ( 1 + h)ⁿ

Application aux pourcentages d'évolution successifs.

On sait que : ( voir pourcentage d'évolution et coefficient multiplicateur )

• Si une valeur augmente de t % sur une période,
  cette valeur est multipliée par (1 + t /100).
• Si une valeur diminue de t % sur une période,
  cette valeur est multipliée par (1 - t/100).

donc :

• Si une valeur augmente de t% à chaque période sur n périodes, la valeur va être mulitpliée par (1 + t /100)n soit approximativement par : 1 + nt/100, cela correspondra environ à une augmentation de nt % sur la période globale.
• Si une valeur diminue de t% à chaque période sur n périodes, la valeur va être mulitpliée par (1 - t /100)n soit approximativement par : 1 - nt/100, cela correpondra environ à une diminution de nt % sur la période globale.
  
• qu'une valeur augmente ou diminue toujours avec le même pourcentage d'évolution : t = % sur n = périodes , on pourra considérer approximativement que cette valeur de % , vous pouvez comparer avec le pourcentage d'évolution réel sans d'approximation : % et voir que cette approximation n'est valable que pour des taux suffisamment proches de 0.