Probabilité conditionnelle

Soient p une probabilité sur Ω et A et B deux événements tels que p(A) ≠ 0, l'application qui à tout événement B associe le nombre réel

est une probabilité sur Ω. On l'appelle probabilité conditionnelle relative à A on la note PA(B) ou P(B/A)
Lire " P de B sachant A " et bien faire attention aux énoncés.
On en déduit la formule dite des probabilités composées : p(A B) = p(A) × PA(B).
Deux événements A et B sont dits indépendants si et seulement si p(AB) = p(A)×p(B)

Ne pas confondre indépendant et incompatible
Propriété : deux événements A et B sont indépendants si et seulement si on a : PA(B) = p(B)
ou alors PB(A)=p(A)
Comment comprendre le fait que deux événements A et B sont indépendants ? :
la réalisation de A n'apporte aucune information sur la réalisation de B

Utilsation d'un arbre "probabiliste" pour calculer des probabilités
c'est un arbre sur lequel on place des probabilités conditionnelles d'événements, cette présentation permet de rendre plus efficace le calcul de probabilité :
Si on considère par exemple une probabilité p sur un univers Ω , A, B, C, M quatre évènements tels que A, B, C forment une partition de Ω c'est à dire A, B et C sont incompatibles 2 à 2 et leur réunion est Ω voila l'arbre probabiliste que l'on peut construire alors :

on peut alors de cette façon calculer la probabilité de l'évenement M , la formule que l'on trouve s'appelle formule des probabilités totales :

P(M) = P(A ∩ M) + P(B ∩ M) + P(C ∩ M)
P(M) = P(A) × PA(M) + P(B) × PB(M) + P(C) × PC(M)
( attention arbre probabiliste ≠ l'arbre à dénombrer )

Exercices sur les probabilités conditionnelles :