Dans le plan affine : La projection
sur une droite D parallèlement à une droite D'.
( D' est appelée direction de projection, D et D' sont sécantes) est
l'application du plan dans lui même qui à tout point M associe le point
M' intersection de la droite D et de la parallèle à la droite D'
passant par M. Image d'un point M
Image d'un segment [AB]
Traduction analytique Considérons un repère (O; ;)
du plan tel que et
sont des vecteurs directeurs respectifs de D et D' et O soit le
point d'intersection de D et D' .
Soient M(x ; y ) et M'(x' ; y') son image par la projection
sur la droite D parallèlement à la droite D' alors :
ce qui peut s'écrire sous forme matricielle :
Dans l'espace affine :
La projection
sur un plan parallèlement à une droite
D
( la droite D coupe le plan
en un point O) est
l'application de l'espace dans lui même qui à tout point M associe le point
M' intersection du plan et de la parallèle à la
droite D
passant par M.
On peut de la même façon traduire analytiquement cette projection en
choisissant un repère de l'espace (O;
;;
) tel que (O ; ;)
définisse le plan et
(O ; ) la droite D , M(x ; y ;
z) a pour image M'(x'; y' ;z') se traduit analytiquement par :
et sous forme matricielle :
La projection
sur une droite D parallèlement à un plan
( la droite D coupe le plan
en un point O) est
l'application de l'espace dans lui même qui à tout point M associe le point
M' intersection de la droite D et du plan parallèle au plan
passant par M.
On peut traduire analytiquement cette projection en choisissant
le même repère de l'espace (O;
;;
) qu'au dessus tels que (O ; ;)
définisse le plan et
(O ; ) la droite D , M(x ; y ;
z) a pour image M'(x'; y' ;z') se traduit analytiquement par :
sous forme matricielle :
Toutes les projections définies ci-dessus sont
des applications affines.
Les projections orthogonales sont des projections telles que la droite
directrice ou le plan directeur sont perpendiculaires à la droite ou le
plan de projection.