démonstration par récurrence

Les questions qui suivent concernent la suite (un) définie par u0 = 3 et un+1 = 2un - 1.

1. u1 = ?
1
3
5
autre
2. u2 = ?
3
5
9
autre
3. On veut montrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 2 : un ≥ n . Comment faut il procéder pour l'étape d'initialisation ?
il faut prouver que u2 ≥ 0
il faut prouver que u2 ≥ 2
il faut prouver que un ≥ 2
autre
4. On veut montrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 2 : un ≥ n , on a démontré l'initialisation. Comment faut il procéder ensuite ?
On va supposer que pour un certain rang n ≥ 2 : un ≥ 2
On va supposer que pour un certain rang n ≥ 2 : un ≥ n
On va supposer que pour un certain rang n ≥ 2 : un+1 ≥ n
On va montrer que pour un certain rang n ≥ 2 : un ≥ n
5. Que faut-il montrer après avoir supposé que …
il faut montrer que un + 1 ≥ n
il faut montrer que un ≥ n + 1
il faut montrer que un + 1 ≥ n + 1
autre
6. En multipliant les deux membres de l'inégalité un ≥ n par 2 on obtient :
2un ≤ 2n
2un ≥ 2n
u2n ≥ 2n
un ≥ 2n
7. Si on soustrait 1 aux deux membres de l'inégalité obtenue à la question précédente on obtient :
un+1 ≥ 2n - 1
un + 1 ≥ n + 1
u2n ≥ 2n - 1
un -1 ≥ 2n - 1
8. A partir de quel entier naturel n a-t-on 2n - 1 ≥ n + 1 ?
Pour n ≥ 0
Pour n ≥ 1
Pour n ≥ 2
Pour n ≥ 3
9. Que peut-on donc en déduire concernant un+ 1 si un ≥ n ?
un+1 ≥ 2n - 1
un+1 ≥ un
un+1 ≥ n
un + 1 ≥ n + 1
10. On peut en conclure finalement que un ≥ n
pour tout entier naturel n
pour tout entier naturel n ≥ 2
pour un certain rang n
pour un certain rang n ≥ 2